2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（解析版(4)

由cosB==…②

由①②解得a=3，b=1， BC=3，AC=3， 那么cosC=则sinC=

，

．

=

．

∴三角形ABC的面积为S=BC?ACsinC=故答案为：3，

．

【点评】本题考查三角形中余弦定理的灵活应用，考查转化思想和方程思想，以及化简计算能力．属于中档题．

16．（5分）（2017?黄冈模拟）已知{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7，函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在且存在

，则w范围是 0＜w≤． ．

上单调且存（k∈Z），上单调

【分析】推导出sin4d=1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在在

，即可得出结论．

（k∈Z），

【解答】解：∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7， ∴sin2a3=2sin∴sin4d=1， ∴d=

．

coswx，

上单调且存在，

cos

?2cos

2sina5cosa5=sin2a7

sin

﹣

=2sina5cos2d?2cosa5sin2d，

∴f（x）=∵在∴

，

∴0＜w≤．

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故答案为0＜w≤．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，是中档题．

17．（5分）（2017?黄冈模拟）设a＜0，（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为 2017 ．

【分析】由题意可得x2+2017a≥0，x+2016b≥0或x2+2017a≤0，x+2016b）≤0成立，若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，则a+2016b≥0，即b

，此时当x=0时，x2+2017a=2017a

≥0不成立；若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，则b+2016b≤0，即b≤0，若x2+2017a≤0在（a，b）上成立，则a2+2017a≤0，即﹣2017≤a＜0．由此即可求得b﹣a的最大值． 【解答】解：∵（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立， ∴x2+2017a≥0，x+2016b≥0或x2+2017a≤0，x+2016b）≤0成立， ①若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，则a+2016b≥0，即b此时当x=0时，x2+2017a=2017a≥0不成立；

②若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，则b+2016b≤0，即b≤0，若x2+2017a≤0在（a，b）上成立，

则a2+2017a≤0，即﹣2017≤a＜0． 故b﹣a的最大值为2017． 故答案为：2017．

【点评】本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（12分）（2017?黄冈模拟）数列{an}中，a1=2，（1）证明数列（2）设

是等比数列，并求数列{an}的通项公式； ，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：

． （n∈N*）．

，

【分析】（1）将原式两边除以n+1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得证； （2）求得

=

，可得4n≥4n2，即有

≤

=（

﹣

），运

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用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）证明：数列{an}中，a1=2，

=?则

，则数列

（n∈N*），

是首项为2，公比为的等比数列；

=2?（）n﹣1，

即为an=2n?（）n﹣1；

（2）证明：=

=，

+…+

+1≥2n，

由2n=（1+1）n=1+n+则4n≥4n2， 即有

≤

=（﹣+

）， +﹣

+…+）

数列{bn}的前n项和是Tn=≤（1﹣+﹣+﹣+…+=（1﹣则

．

）＜，

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造法和等比数列的定义及通项公式，考查数列的求和和不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和以及不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?黄冈模拟）在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，

，AB=2，AM=1，E是AB的中点．

（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为若不存在，请说明理由．

？若存在，求出AP的长；

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【分析】（1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD，从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC，由此能证明平面MAE⊥平面NDC．

（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形， E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD， ∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，

又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD， ∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE， ∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，

∵DE?平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC． 因为面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM； （2）解：设存在P符合题意．

由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz（如图）， 则D（0，0，0），A（≤1）． ∴则

=（0，﹣1，h），

=（﹣

，2，0），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），

h，

）

，﹣1，0），E（

，0，0），C（0，2，0），P（

，﹣1，h）（0≤h

令x=2h，则平面PEC的一个法向量为=（2h，

取平面ECD的法向量=（0，0，1）， cos45°=

，解得h=

∈[0，1]，

，此时AP=

．

即存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为

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【点评】本题考查线面垂直，考查二面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

20．（12分）（2017?黄冈模拟）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？ 【分析】（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率为

×

．第

二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为×

．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．

（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．

【解答】解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况： 第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验， 则恰含有病毒的概率为

×

=．

第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，

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