普通物理实验（误差分析）第二版（2010级）(5)

普通物理实验 第4章 测量的不确定度

vk?xk?x

观测值的实验方差为：

s2(xk)?1(xi?x)2 ?n?1式中，s2（xk）是xk的概率分布的总体方差σ2的无偏估计，其正平方根表证了xk的分散性。准确地说，

表征了它们在x上下的分散性。x（xk）称为样本标准差或实验标准差，表示实验测量列中任一次测量结果的标准差。通常以独立观测列的算术平均值作为测量结果，测量结果的标准不确定度为：

s(x)?s(xk)n?u(x)

2．在规范化的常规测量中实验标准差的计算

如对被测量xi都进行了重复性条件下或复现性条件下的n次独立观测，有xi1，xi2，…，xin，其平均值为xi，如有m组这样的被测量，则：

mn1s(xi)?(xij?xi)2?u2(xi) ??m(n?1)j?1i?12p如果这m组已分别按其重复次数算出了各次实验标准差si，则sp可按如下公式计算：

1m2s(xi)??si?u2(xi)

mi?12p上述两式给出的sp自由度为m（n-1）。

如对m个被测量Xi所重复的次数不完全相同，设各为ni，而Xi的标准差（sxi）的自由度为vi?n1?1，通过m个si与vi可得：

s2p(xi)?1?vim?vsi2ii?u2(xi)

自由度为v??vi?1。

3．利用极差计算实验标准差

在重复性条件或复现性条件下，对Xi进行n次独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差R称为极差，在Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果xi的实验标准差的近似计算如下：

s(xi)?n C v R?u(xi) C2 1.13 0.9 3 1.64 1.8 4 2.06 2.7 5 2.33 3.6 6 2.53 4.5 7 2.70 5.3 8 2.85 6.0 9 2.97 6.8 其中系数C及自由度v和测量次数的关系如下表：

一般来讲，这种方法用于测量次数比较小的时候。 4.2.1 标准不确定度的B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 1．获得B类标准不确定度的信息来源： （1）以前的观测数据

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

（2）对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验 （3）生产部门提供的技术说明文件

（4）校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等

（5）手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度

（6）规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。 用这类方法得到的估计方差u2（xi），简称为B类方差。 2．不同信息来源的B类方差

（1）如估计值xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时明确给出了其不确定度U（xi）是标准差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u （xi）可取U（xi）/k，而估计方差为其平方。

例：校准证书上指出标称值为1kg的砝码质量m=1000.00032g，并说明按包含因子k＝3给出扩展不确定度U=0.24mg。 则：

砝码的标准不确定度 u(m)?0.24?80?g 3估计方差 u2(m)?(80?g)2?6.4?10?9 相对标准不确定度 urel(m)?u(m)?80?10?9 m（2）如xi的扩展不确定度不是按标准差s（xi）的k倍给出，而是给出了臵信概率p为90％、95％或99％的臵信区间的半宽度U90、U95或U90，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度。对应上述三种臵信概率的包含因子kP分别为1.64、1.96或2.58，更为完整的关系如表所示：

正态分布下臵信概率p与包含因子kp间的关系 p% kp 50 0.67 68.27 1 90 1.645 95 1.960 95.45 2 99 2.576 99.73 3 例：校准证书上给出的标称值为100Ω的标准电阻器的电阻Rs在230C时为：

Rs(23?C)?(10.00074?0.00013)?

同时说明臵信概率p＝99％。

由于U99＝0.13mΩ，根据上表可知，kp＝2.58， 标准不确定度为：u(Rs)?0.13m??50??

2.58估计方差为：u2(Rs)?(50??)2?2.5?10?9?2 相对标准不确定度：urel(Rs)?u(Rs)?5?10?6 Rs（3）如根据所获资料表明，输入量Xi的只有50％的概率落入a－和a＋区间内。取Xi的最佳估计值xi为该区间的中点。设该区间的半宽度为（a＋－a－）/2=a。在假设Xi的可能值接近正态分布的前提下，根据上表，kp=0.67

取xi的标准不确定度：u(xi)?a 0.67?a?方差：u2(xi)???

0.67??例：机械师在测量零件尺寸时，估计其长度l以50％的概率落于10.07mm至10.15mm之间，并给出

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2普通物理实验 第4章 测量的不确定度

了长度l=（10.11±0.04）mm，则p=50%的臵信区间半宽度为0.04mm，在接近正态分布的条件下，根据上表，k50=0.67

长度l的标准不确定度：u(l)?20.04mm?0.06mm

0.67?0.04mm??32方差：u2(l)????3.5?10mm

?0.67?（4）如已知信息表明Xi之值接近正态分布；并以0.68概率落入（a＋－a－）/2=a的对称范围之内，根据上表，kp=1，则u(xi)?a

（5）如已知信息表明Xi之值xi分散区间的半宽度为a，且xi落于xi－a至xi＋a区间的概率p＝100％，即全部落在此范围中。通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度

u(xi)?a k常用分布于k、u（xi）的关系

k与分布状态有关。

分布类别 正态分布 三角 梯形β=0.71 矩形（均匀） 反正弦 两点 p% 99.73 100 100 100 100 100 k 3 u（xi） a/3 6 2 a/6 a/2 3 2 1 a/3 a/2 a 例1：手册中给出纯铜在200C时的线膨胀系数为a20（Cu）=16.52×10-6 0C-1，并说明此值变化的半范围为a=0.40×10-6 0C-1。按a20（Cu）在[（16.52－0.40）×10-6 0C-1，（16.52＋0.40）×10-6 0C-1]区间内为均匀分布。则

u(a)?0.40?10?6C3??0.23?10?6C

?例2：数字电压表制造厂说明书说明：仪器校准后1~2年内，在1V内示值最大允许误差的模为14×10-6×（读数）+2×10-6×（范围）。校准后20月在1V内测量电压，在重复性条件下独立测得电压V，其平均值为：

V?0.928571V

平均值的实验标准差为：

s(V)?12?V

电压表最大允许误差的模为：

a?14?10?6?0.928571V?2?10?6?1V?15?V

其中，a即为均匀分布的半宽度，根据上表可知，k?3，则示值的标准不确定度为：

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普通物理实验 第4章 测量的不确定度

u(?V)?15?V?8.7?V 3由示值不稳定导致的不确定度为A类标准不确定度，即s(V)?12?V，由示值误差导致的标准不确定度为B类标准不确定度，即u(?V)?8.7?V。

（6）在缺乏任何其它信息的情况下，一般估计为矩形分布是较为合理的。但如果已知被研究的量Xi的可能值出现在a－至a＋中心附近的概率，大于接近区间边界时，最好按三角分布计算。如果xi本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分布。

（7）对于数字显示式测量仪器，如其分辨率为δx，则由此带来的标准不确定度为u(x)?0.29?x。

对于所引用的已修约的值，如其修约间隔为δx，则因此导致的标准不确定度为u(x)?0.29?x （8）在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为：

u(xi)?或

r 2.83R 2.83u(xi)?（9）当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差与其他信息进行评定。

注：B类评定是针对系统误差所引起的不确定度进行的评定。这类评定方法，有的依据计量仪器说明书、检定书或仪器的准确度等级，有的依据仪器的分度值或经验。通过这些信息可以获得极限误差Δ，并以其

?3为均匀分布的标准差。因此，B类评定标准不确定度为：

uB(x)??3

一般来讲，Δ为计量仪器的最小刻度值。

严格地讲，利用上式求B类标准不确定度的变换系数与实际分布有关，但我们都按均匀分布近似处理。

4.2.3 合成标准不确定度

1．合成标准不确定度的基本方法

合成标准不确定度，当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。它是测量结果标准差的估计值。

合成标准不确定度一般用符号uc（y）表示。u2c（y）为输出估计值的合成方差，合成标准不确定度可以按不确定度分量的A、B两类评定方法分别合成。

当全部输入量Xi是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度可由下式计算：

??f?2uC(y)????u2(xi)

??xi?式中，u（xi）既可以按A类，也可以按B类方法评定。uc（y）是个估计的标准偏差，表征合理赋予被

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2普通物理实验 第4章 测量的不确定度

测量Y之值的分散性。且y=f（x1，x2，…，xN）。

?f称为灵敏系数。它描述了输出估计值y如何随输入?xi估计值的变化而变化。尤其是，输入估计值xi的微小变化Δxi引起的y的变化，可用

??f?(?y)i????x???xi?ci?xi

?i?2．普通物理实验中所使用的合成标准不确定度的方法

实际上，对任一物理量的测量，由于其测量值的不确定度的来源不止一个，要用合成标准不确定度对结果进行评价。

在合成时，要注意两点：

（1）作为标准不确定度，A、B类评定在合成时是等价的； （2）合成的方法：

对于直接测量值，由于各项的符号不一定相同，采用算术求和时，可能增大合成值。因此采用方和根法。

uc(x)?对于间接测量，合成标准不确定度为：

?ui?1k2(x)i

uc(y)??(i?1m?y22)u(xi) ?xi如果间接测量值和直接测量值之间的函数关系是幂函数关系：

bk y?Ax1a?x2?xm则有：

uc(y)?(au(xm)2u(x1)2u(x2)2)?(b)??(k) x1x2xm实际上，这种方式中由于没有人为的因素，因此是最科学的。

例：一个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t0时的电阻为R0，电阻器的温度系数为α，则电阻器的损耗功率P（被测量）为：

V2 P?f(V,R0,?,t)?R0[1??(t?t0)]由此式可知，电阻器的损耗功率P是一个间接测量值，它依靠V，R0，α和t。而这四个量为直接测量量。根据上述理论，在合成标准不确定度中，灵敏系数分别为：

c1??P2V2P?? ?VR0[1??(t?t0)]V?PV2P c2???2???R0R0R0[1??(t?t0)]V2(t?t0)P(t?t0)?P c3?????2??[1??(t?t0)]R0[1??(t?t0)]25

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