普通物理实验（误差分析）第二版（2010级）(4)

普通物理实验 第4章 测量的不确定度

第4章 测量的不确定度

测量的最终目的是为了获得被测量在测量条件下的真值。但由于各种因素的影响，测量值始终偏离真值，那么，在报告实验结果时，必须有一个对测量结果的正确评价，这就是测量不确定度。

在我国对测量不确定度的评定是遵从《测量不确定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。这是由国际标准化组织（ISO）计量技术顾问组第三工作组（ISO/TAG4/WG3）起草，于1993年以7个国际组织的名义联合发布的。这7个国际组织是：

国际标准化组织（ISO） 国际电工委员会（IEC） 国际计量局（BIPM）

国际法制计量组织（OIML）

国际理论化学与应用化学联合会（IUPAC） 国际理论物理与应用物理联合会（IUPAP） 国际临床化学联合会（IFCC）

GUM采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。

评定与表示测量不确定度的方法应满足如下要求：

1．适用于各种测量和测量中所用到的各种输入数据，即具有普遍适用性； 2．在本方法中表示不确定度的量应该：

（1）能从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的；

（2）当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，即它们是可传播的。

3．在诸如工业、商业与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较高的概率的臵信区间，本方法应能方便地给出这样的区间及相应的臵信概率。

4.1 和测量不确定度相关的概念

在此我们进一步明确在实验中所用到的关于对测量结果进行评价的一些基本概念。 4.1.1 量

指现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。 注：

1、术语“量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质的量浓度；特定量如某根棒的长度，某根导线的电阻，某分酒样中乙醇的浓度。

2、可相互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称之为同类量，如功、热、能；厚度、周长、波长。

3、量的符号可以参照《GB3100~3102—1993量和单位》。 4.1.2 量值

一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。 例如：5.34m或535cm，15kg，10s，-400C

注：对于不能由一个数乘以测量单位所表示的量，可参照约定参考标尺，或参照测量程序，或两者都参照的方式表示。 4.1.2 真值

真值就是与给定的特定量的定义一致的量。理想的测量结果是真值 注：

1．量的真值只有通过各种完善的测量才有可能得到； 2．真值按其本性是不确定的；

3．与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。

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4．GUM用“被测量值”代替“真值”。在不致引起混淆时，推荐这一用法。 4.1.3 约定真值

约定真值是指对于给定目的的具有适当不确定度、赋予特定量的值，有时该值是约定的。 1．约定真值有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值； 2．常常用某量的多次测量结果来确定约定真值。 4.1.4 被测量

作为测量对象的特定量。

例如：给定的水样品在200C是的蒸汽压力。 注：

1．对被测量的详细描述，可要求包括对其它有关量（如时间、温度和压力）作出说明。

2．实践中，被测量应根据所需准确度予以完整定义，以便对所有的测量，其值是单一的。例如：一根标称值为1m长的钢棒其长度需测至微米级准确度，其技术说明书应包括给定温度和压力。但若只需毫米级准确度，则无需规定温度、压力和其它影响量的值。 4.1.5 测量结果

由测量所得到的赋予被测量的值。 注：

1．在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为若干个值的平均值。

2．在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。 3．测量结果仅是被测量之值的估计。

4．很多情况下，测量结果是在重复观测的情况下确定的。 5．在测量结果的完整表述中，还应给出自由度。 4.1.6 测量准确度

测量结果与被测量的真值之间的一致程度。 注：

1．不要用术语“精密度”代替“准确度”。

2．准确度是一个定性概念。例如：可以说准确度高低、准确度为0.25级、准确度为3等级准确度符合某某标准；尽量不使用如下表示：准确度为0.25%、16mg、≤16mg及±16mg。 4.1.7 重复性

在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。 注：

1．这些条件称为“重复性条件” 2．重复性条件包括： ★ 相同的测量程序； ★ 相同的观测者；

★ 在相同条件下使用相同的测量仪器； ★ 相同地点；

★ 在短时间内重复测量。

3．重复性可以用测量结果的分散性定量地表示。

4．重复性用在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差（称为重复性标准差）sr定量地给出。 5．重复观测中的变动性，是由于所有影响结果的影响量不能完全保持恒定而引起的。 4.1.8 复现性

在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。 注：

1．在给出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况。 2．可改变的条件包括：

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测量原理； 测量方法； 观测者； 测量仪器； 参考测量标准； 地点； 使用条件； 时间。

3．复现性可用测量结果的分散性定量地表示。 4．测量结果在这里通常理解为已修正结果。

5．在复现性条件下，复现性用重复观测结果的实验标准差（称为复现性标准差）sR定量给出。 6．复现性又称为“再现性”。 4.1.9 实验标准[偏]差

对同一被测量进行n次测量，表征测量结果分散性的量s可按下式计算：

s(xi)??(xi?1ni?x)（贝塞尔公式）

n?1式中xi是第k次测量结果；x是n次测量的算术平均值。

注：

1．当将n个测量结果视作分布的样本时，x是该分布的期望值μx的无偏估计，实验方差s2(xi)是这一分布的方差的?无偏估计。

2．

2s(xi)n为x的分布的标准差估计，称为平均值的实验标准差。

3．将平均值的实验标准差称为平均值的标准误差是不正确的。 4．s2(xi)和

s(xi)n的自由度相同，均为n-1。

4.1.10 不确定度

表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。 注：

1．此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了臵信水平的区间半宽度；

2．测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其它信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。

3．测量结果应理解为被测量值的最佳估计，全部不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如：与修正值和参考测量标准有关）分量。

4．不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其平方根。

5．不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度意为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度时，要适当采用一个形容词，例如合成不确定度或扩展不确定度；但不要用随机不确定度和系统不确定度这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度来说明。

6．《JJF1001—1998通用计量术语及定义》给出的上述不确定度定义是可操作定义，即着眼于测量结果及其分散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用过的定义并不矛盾：

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（1）由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。 （2）表征被测量的真值所处范围的评定。

不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同，表达形式也一样。 4.1.11 标准不确定度

以标准差表示的测量不确定度。 4.1.12 不确定度的A类评定

用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 注：不确定度的A类评定，有时又称为A类不确定度评定。 4.1.13 不确定度的B类评定

用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 注：不确定度的B类评定，有时又称为B类不确定度评定。 4.1.14 合成标准不确定度

当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。 注：它是测量结果标准差的估计值。 4.1.15 扩展不确定度

确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。 注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。 4.1.16 包含因子

为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的数字因子。 注：

1．包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。 2．包含因子有时也称为覆盖因子。

3．根据其定义可分为两种：k?UpU；kp?。 ucuc4．一般在1~3范围内。

5．下脚标p为臵信概率，即臵信区间所需要的概率。 4.1.17 自由度

在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。 注：

1．在重复性条件下，对被测量作n次独立测量时所得的样本方差为

22v12?v2??vn

n?1其中残差为：v1?x1?x，v2?x2?x，…，vn?xn?x

因此，和的项数即为残差的个数n，而

?vi?0是一个约束条件，即限制数为1。由此可的自由度

为n－1。

2．当测量所得n组数据用t个未知数按最小二乘法确定经验模型时，自由度为n-t。

3．自由度反映相应实验标准差的可靠程度，用于在评定扩展不确定度Up时求得包含因子kp。合成标准不确定度uc（y）的自由度，称为有效自由度νeff。当y接近正态分布时，包含因子等于t分布临界值，即kp=tp（νeff）。 4.1.18 臵信概率

与臵信区间或统计包含区间有关的概率值（1-α） 注：

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1、符号为p，p=1－α. 2、经常用百分数表示。

3、又称臵信说平、臵信系数、臵信水准。 4.1.19 误差

测量结果减去被测量的真值。 注：

1．由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。

2．当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的绝对误差。注意不要与误差的绝对之相混淆，后者为误差的模。

3．误差之值只取一个符号，非正即负。

4．误差与不确定度是完全不同的两个概念，不应混淆或误用。对同一被测量不论其测量程序、条件如何，相同测量结果的误差相同；而在重复性条件下，则不同结果可有相同的不确定度。

5．测量仪器的特性可以用[示值]误差、最大允许误差等术语描述。

6．随机误差：测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。由于实际上只能进行有限次测量，因而只能得出这一测量结果中随机误差的估计值。随机误差大抵是由影响量的随机时空变化所引起，这种变化带来的影响称为随机效应，它们导致重复观测中的分散性。

7．系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。由于系统误差及其原因不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度的补偿。当测量结果以代数和与修正值相加之后，其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零。来源于影响量的已识别的效应称为系统效应。 4.1.20 修正值

用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。 注：

1．修正值等于负的系统误差。

2．由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。

3．为补偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。

4．已修正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能仍十分接近被测量的真值（即误差甚小），因此，不应把测量不确定度与已修正结果的误差相混淆。

4.2 测量不确定度的评定

测量过程中的随机效应及系统效应均会导致测量不确定度，数据处理中的修约也会导致不确定度。这些从产生不确定度的原因上所作的分类，与评定方法上所作的A、B分类之间不存在任何联系。对于不确定度的A、B分类，主要是指评定方法的不同，是为了便于理解和讨论，并不意味着两类分量存在本质上的区别。它们都是基于概率分布，并都由方差或标准差定量表示。

表征A类标准不确定度分量的估计方差u2，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值s2。标准不确定度u为u2的正平方根值，因此，u=s。

表征B类标准不确定度分量的方差估计值u2，是根据有关信息来评定的，即通过一个假定的概率密度函数得到的，此函数基于事件发生的可信程度，即主观概率或先验概率。 4.2.1 标准不确定度的A类评定

1．标准不确定度的A类评定的基本方法

在重复性条件或复现性条件下的n个观测结果xk，随机变量x的期望值μx的最佳估计是n次独立观测结果的算术平均值：

1nx??xk

nk?1由于影响量的随机变化或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值xk不一定相同，其残差为：

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