普通物理实验（误差分析）第二版（2010级）(3)

普通物理实验 第3章 数据处理

4．关于测量次数的问题

从算术平均值的标准偏差的计算公式可知，测量次数越多，标准偏差越小，所以，增加测量次数对提高平均值的价值是有利。但是测量次数不是越多越好，因为增加测量次数，测量时间就会延长，实验环境可能出现不稳定，实验者也趋于疲劳，就会引入新的误差。一般情况下，在偶然误差较大的测量中要多测几次，否则可以少一些。一般来讲，实验中测量次数取4～10次为宜。 5．实验中的错误与错误数据

实验中可能会出现错误的数据。如果这种数据偏离较大，是很容易看出的，此时，可直接将其舍去。但是，有的错误数据不容易被发现。对不易被发现的错误数据，首先要预防，即在实验过程中注意实验条件对实验原理要求的满足程度，实验装臵、电路的正确性，观测对象是否正确、仪器操作是否正确等等；其次是按照数据处理原理剔除错误数据。

综上所述，防止错误数据出现的关键是熟悉实验理论和条件，明确观察对象，正确使用仪器，在此基础上，更具数据处理原理消除错误数据。

例1：测量单摆摆动50个周期的时间，得出98.4s、96.7s、97.7s。

从数据上可知，单摆的周期接近2s。但是，前面两个数据相差1.7s，后两各数据相差1.0s，都在半个周期以上，这不能由人的反应速度来加以解释。

例2：用静力称衡法测一块玻璃的密度，所用公式为：

???水m1/(m1?m2)

m1为玻璃块质量，测量值为5.78g，m2为玻璃悬挂在水中的视重，测量值是4.77g。

由于两个数据相差1g，使得计算所得结果为：6g/cm3，显然，玻璃的密度不可能有这么大。 实际应用中是根据误差理论对其进行分析和判定。

误差理论中提出了一些关于处理错误数据的判据。格罗布斯判据就是其中一种。该判据的基本思想是：按此判据给出一个和数据个数n相联系的系数Gn。当已知数据个数n时，如果算术平均值为x，测量列标准偏差为s，则可以保留的测量值xi的范围是：

(x?Gn?s)?xi?(x?Gn?s)

Gn系数表： n Gn n Gn 3 1.15 14 2.37 4 1.46 15 2.41 5 1.67 16 2.44 6 1.82 17 2.48 7 1.94 18 2.50 8 2.03 19 2.53 9 2.11 20 2.56 10 2.18 22 2.60 11 2.23 25 2.66 12 2.28 30 2.74 13 2.33 也可以用拟合式进行计算： n<30时：

Gn?n>30时：

ln(n?2.56)?1.305

2.31Gn?例3：测得一组长度值：（单位：cm）

98.28 98.30

计算得：

ln(n?3)n?1.36?

2.3055098.24 98.25

98.29 98.23

98.21 98.25

98.26 98.97

x＝98.328cm，s＝0.227cm

n＝10， Gn＝2.18

x?Gn?s?97.833cm，x?Gn?s?98.823cm

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普通物理实验 第3章 数据处理

数据98.97在此范围之外，所以应该舍去。在舍去这个数据之后，在重新进行计算。并且在重新计算时应再次作此判断。

3.6 间接测量值的误差估计

大多数物理量的测量都是间接测量值，最后结果的误差的计算方法有多种，在普通物理实验中，我们常常采用的有两种方法。一是采用非平方形式的误差传递公式进行计算；一是采用平方形式的误差传递公式进行计算。

3.6.1 非平方形式的误差传递公式

1．间接测量值和直接测量值函数关系是加减时的误差传递公式 （1）加法：

设：间接测量值和直接测量值之间的关系为

x?x1?x2

其中：

x1?x1??x1 x2?x2??x2

则：

x?x??x??x1??x1???x2??x2? ??x1?x2????x1??x2?比较两端：

x?x1?x2 ?x??x1??x2

（2）减法：

利用和加法相似的处理方法可得：

x?x??x?x1?x2??x1??x1???x2??x2???x1?x2????x1??x2?在减法中，从最不利的情况来考虑：

x?x1?x2 ?x??x1??x2

故加减法的误差都是各分量误差之和。

2．间接测量值和直接测量值函数关系是乘除时的误差传递公式 （1）乘法：

x?x??x?x1?x2??x1??x1???x2??x2?由于最后一项是高阶无穷小，可舍去：

??x1?x2????x1?x2??x2?x1?????x1?????x2?x?x1?x2 ?x??x1?x2??x2?x1

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普通物理实验 第3章 数据处理

由此可得相对误差：

?x?x1?x2 即 ???1??2 ??xx1x2（2）除法：

x?x??xxx??x1x2??x2?1?1?x2x2??x2x2??x2???所以：

x1?x2?x1?(??x2)?x2?(??x1)?(??x1)(??x2)x2?(?x2)x2x1x222222

x1?x2?x1?(??x2)?x2?(??x1)x1??x2?x2??x1x22?()x?利用相对误差可表示为：

x1x??x2?x2??x1 ?x?1 2x2x2?x?x1?x2 即???1??2 ??xx1x2故乘除法的相对误差等于各分量的相对误差之和。由此可见，虽减法先求绝对误差方便，乘除法先

求相对误差方便。

3．误差传递公式的一般表述：

若y??x1x2??xn?，即间接测量值和直接测量值的函数关系式相乘的关系， 则：

dy??f?f?fdx1?dx2????dxn ?x1?x2?xn此处，仍然从最不利的角度考虑。

dy?lnf?lnf?lnf?dx1?dx2????dxn y?x1?x2?xn其中

?f?lnfdxi或dxi为误差传递系数。 ?xi?xi如果两者的函数关系为幂级数：y?Ax1?x2?xm，则有

abkdy?|a|dx1?|b|dx2????|k|dxm y其中，dx1、dx2、dxm就是直接测量值的标准偏差。实际应用中，用算术平均值的标准偏差代替。

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普通物理实验 第3章 数据处理

3.6.2 平方形式的误差传递公式

由于采用非平方形式的误差传递公式，人为的从最不利的角度考虑问题，使得对最后结果的评定不准确，因为在最后的不确定度的表示中，将其可疑程度夸大了。因此，人们提出了一种较为严格的数学处理方式来处理这个问题。即通过对各项取平方的方法，这样做的好处在于对误差的计算没有人为的因素存在，有的只是数学上严格的处理。故对最后结果的评定应该是准确的。

假设间接被测量和直接被测量的函数关系为：

y?f(x1,x2,?,xm)

将其全微分可得：

dy??y?y?ydx1?dx2???dxm ?x1?x2?xm此时表明，当dx1，dx2，…，dxn表示每个直接被测量的微小变化时，y也有微小变化。这就可以将这些

微小变化看成是误差。这就是误差传递的基本公式。现假设有n次测量，则对每一次测量有：

?y?y?y?dy?dx?dx???dxm121?1?x11?x?xm12??y?y?y?dx12?dx22???dxm2?dy2??x1?x2?xm ?????????y?y?y?dy?dx?dx???dxmn2n?1?x1n?x?xm12?将上述各式左右平方后求和可得：

??y?2?dy??i??x??i?1?1?n2??y2?dx??1i??xi?1?2n????????2??y2?dx????2i??xi?1?mn????????2??y???y?dx?2???x????i?1?1???x2n2min?n???dx1idx2i???i?1如果x1，x2，…的测量是独立的，则误差交叉项乘积之和近似为零。则：

??y?2?dy??i??x??i?1?1?n2??y2?dx??1i??xi?1?2n2??y2?dx????2i??xi?1?mn2?dxi?12mi

将上式两侧同时除以n，并取?2y?dy?n2i，?221?dx?n21i，…，?2m?dx?n2mi，

??y?2??y2?y????x???1????x?1??222??y?2???????2??x??m2?2???m ?根据误差理论，各σ为相应直接被测量的标准差，其估计量为标准偏差s。故：

??ysy????i?1??xim?2??si ?2而对于不确定度的传递（合成）可以写为：

??y?2u(y)?????x??u(xi)

?i?附：关于算术平均值的标准差的证明：

设：x1、x2、...、xn为在相同条件下（等精度）的一组测量值，算术平均值x为

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普通物理实验 第3章 数据处理

x??xi?1nin?111x1?x2???xn nnn根据被测量算术平均值的标准差和测量值的标准偏差的关系有：

ns(x)??(12s2i

i?1n)对于等精度测量，s1=s2=…=sn=s，则有

ns(x)??1s?s。 i?1n2n

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