高中数学基础能力过关第八单元(6)

16. （１）证明：设Ｅ为ＣＤ的中点，连结ＰＤ、ＮＥ、ＥＭ ∵ＰＡ⊥α，ＡＤ⊥l ∴ＰＤ⊥l 又∵Ｍ、Ｅ分别是ＰＣ、ＤＣ的中点 ∴ＮＥ∥ＰＤ，而ＰＤ⊥l，∴l⊥面PAD ∴NE⊥l，又M为AB中点 ∴ME⊥l，故l⊥面MNE，∴l⊥MN，又l∥AB ∴AB⊥MN ∵ＰＡ⊥α ∴PM=PA+AM 又知MC=BC+MB

2

2

2

2

2

2

β P F D A α M N C E B ∵PA=AD，ABCD是矩形，M为AB中点 ∴PM=MC，在等腰

⊿PMC中，N为PC的中点 ∴MN⊥PC，故MN是异面直线ＡＢ和PC的公垂线．

1

（２）解：设ＰＤ中点为Ｆ，∵ＦＮ∥ＤＣ，ＦＮ＝ ＤＣ，而Ｅ为ＤＣ的中点，∴ＤＥ∥ＦＮ∥

2ＡＭ，且ＤＥ＝ＦＮ＝ＡＭ 故ＦＡＭＮ为平行四边行，则ＡＦ∥ＭＮ

∴∠ＰＡＦ为异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角。 而ＰＡ⊥α，PA=AD ，∴⊿ＰＡＤ为等腰直角三角形，Ｆ为ＰＤ中点，∴∠ＰＡＦ＝45°。即异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角为45°．

第二节参考答案

一.选择题 DDCBD CBDBB

二.填空题 11. （8，12） 12. 平行 13. （1）（3）（4）?（2） 14. M?HF 三.解答题

15. 解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连结AG，在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点。EG∥CD∥AF，EG=AF，∴四边形EFGA为平行四边形，∴FE∥AG，AG?平面

EGPEPAD，FE?平面PAD，∴FE∥平面PAD。又在△BCE中，CE=3a，BC2=CE?CP，∴CP=3a，又，?CDPC3∴EG=AF=

2a。 3ABAM，?BCMF 16. (1)证明：连结BM,EM,BE,??//?，平面ACF 分别交α,β于BM,CF所以BM∥CF，?同理，

ABDEAMDE，?． ??BCEFMFEFBMABh?MEh?h? ??,同理?CFAChADh(2)解：由（１）知BM∥CF，

?S?BEM?1h??h??CF?AD?1??sinBME．由题意知，AD与CF是异面直线，故CF,AD是常量，sin2h?h?h??x．只要考察函数y=x(1－x)的最值即可，显∠BME是AD与CF所成的角的正弦值，也是常量，令h然当x?

1h?1?时，y=x(1－x)有最大值． 时，即

2h2所以当

h?1?时，即?在?，?两平面的中间时?BEM的面积最大． h226

第三节参考答案

一.选择题 CDCCD DBDAA

二.填空题 11. A C D 12. ABD?C 或ACD?B 13. AC?BD 14. ①②③④ 三.解答题

15. 解：（1）由于ΔA1D1E ?ΔA1AF，∴∠D1A1E =∠AA1F， ∴∠ E A1B1=∠B1A1F，因此点B1在平面A1ECF上的射影应在 ∠ E A1F的平分线上，又四边形A1ECF为菱形，因此，点B1 在平面A1ECF上的射影应在直线A1C 上，∴∠B1A1C即为A1B1 与截面A1ECF所成的角。又tan?B1A1C?∴?B1A1C?arctan2。

（2）取A1B1中点G，连接BG，则BG∥A1F， ∴BG∥截面A1ECF，因此B到截面的距离等于点G到截面的距离，又G为A1B1的中点。∴G到截面A1ECF的距离等于B1到截面A1ECF的距离的一半，容易求得B1到截面A1ECF的距离为

B1C2a??2， A1B1a66a，因此点B到截面A1ECF的距离为a. 36Ａ

１

Ｄ１ ＥＨＤＭＮＢ１ Ｃ１

16. （１）证明: ∵Ｍ、Ｎ、Ｅ是中点，∴ＭＮ⊥ＥＮ。 又ＮＦ⊥平面Ａ１Ｃ１，∴ＭＮ⊥ＮＦ，从而ＭＮ⊥平面ＥＮＦ ∵ＭＮ?平面ＭＮＦ，∴平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。 （２）过Ｎ作ＮＨ⊥ＥＦ于Ｈ，连结ＭＨ。

∵ＭＮ⊥平面ＥＮＦ，ＮＥ为ＭＨ在平面ＥＮＦ内的射影， 由三垂线定理得ＭＨ⊥ＥＦ，

∴∠ＭＨＮ是二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角。 在Ｒｔ⊿ＭＮＨ中，求得ＭＮ＝

Ａ Ｃ ＢＦ

23ａ，ＮＨ＝ａ， 23∴ｔａｎＭＨＮ＝

MN6，即为二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切。 ?NH2第四节参考答案 一.选择题 CCDBD BBCDB 二.填空题 11. 三.解答题

15. 解：（1）设AA1?m，AB?n,AC?p，则

1015, ?6 12. 充分不必要 13. 14. 31730 2????????????m?2a,n?p?a且m?n?n?p?p?m?0，因为

27

????A1B?AB?AA?n?m,AC?AC?AA?p?m，所以111??????A1B?(m?n)2?n2?2n?m?m2?5a2,

2??????AC1?(p?m)2?p2?2p?m?m2?5a2,

2???????????A1B?AC1?(n?m)?(p?m)?n?p?n?m?m?p?m2??4a2，所以 cosA1B,AC1?44??,因此，异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为。

55A1B?AC1A1B?AC1（2）由已知，AB为平面ACC1的法向量，设平面AC1D的法向量为

????，则b?AB??AC??AA?n??p??m1????????b?AC1?(n??p??m)?(p?m)??p2??m2??a2???4a2?0,因此??4??0 ①

又因为D为BC的中点，所以AD?1??(n?p) 。所以 2?1?11???1???b?AD?(n??p??m)?(n?p)?(n2??p2)?(a2??a2)?0,因此???1,??

2224???1??2?2?1?292?3????1??m?a，b?a,AB?b?n?(n?p?m)?n2?a2，所以b?n?p?m.b?n?p?416424所以cosb,AB?52. ?. 所以二面角Ｄ－ＡＣ１－Ｃ正弦值为3b?AB3b?AB16. 解：（1）建立如图空间直角坐标系，由已知条件得B（0，0，0）， D（0，2，2），B1（0，0，4）。设BA=a,则A（a,0,0）.所以

BA=（a,0,0）,BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2). B1D.BA=0

B1D.BD=0+4-4=0,所以，B1D⊥BA，B1D⊥BD，因此B1D⊥平面ABD。

（2）由E、F、G的定义知，E（0，0，3），G（a/2，1，4）， F（0，1，4）.所以EG=（a/2，1，1），EF=（0，1，1），

EG。B1D=0+2-2=0，B1D。EF=0+2-2=0。所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，B1D⊥平面EFG，结合（1）可知

面EGF//面ABD。

28

（3）由（1）（2）知BF=（0，1，4），B1D=(0,2,-2)是平面ABD的法向量，所以BF在B1D上的射

影长=BF?B1D?63232。所以F到平面ABD的距离为。由（2）知，面EFG??B1D2222与面ABD的距离=点F到面ABD的距离=

第五节参考答案 一.选择题 ACDAC AACCA 二.填空题 11. arctan2 12. arccos三.解答题

15. 解：建立坐标系如图，有

32。 233 , 60° 13. 14. 3326

z D A?0,2,0?,C?2,0,0?E?1,1,0?设D?0,0,z?

?BE?(1,1,0)AD??0,?2,z?AD?BE?24?z2cos???2

又z>0，cos??221??z?4 2104?zc x B A E y

?VABCD?

18?AB?BC?BD?. 63 16. 证明:（1）连结DH,?C?H?平面ABD,??C?DH为C?D与平面ABD所成的角,且平面C?HA?平面ABD,过D作DE?AB,垂足为E, 则DE?平面C?HA,,故?DC?E为C?D与平面AHC?所成的角.

C? A ?sin?DC?E?DEDH??sin?DC?H, C?DC?DB

H E D

G

C

? ?DC?E??DC?H

? ?DC?E+ ?C?DH??DC?H??C?DH?900

(2)作HG⊥AD,垂足为G,连结C?G,则C?G⊥AD,故?C?GH是二

0面角C??AD?H的平面角, 即?C?GH=60,计算得

tan?BAD?

2 229

第六节参考答案 一.选择题 DABAC ACBBD 二.填空题 11. 三.解答题

15. 解法一：（转化为线面距）因为BD∥平面B1D1C，B1C?平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离，由VB?BDC?VD?BBC，

1111D126666022 13. 14. a，a，a, a; 12. 13323412213?即?341?2a?2h?1?a2?a，得h?32O1 B1C1

3． a3A1Ｄ B1D1C的距离为

Ａ O 解法二：（转化为面面距）易证平面B1D1C∥平面A1BD，用等体积法易得Ａ到平面A1BD的距离为

3，同理可知：C1到平面

a33． a3Ｃ Ｂ 3，而A1C=a33a，故两平面间距离为

解法三：（垂面法）如图，BD∥平面B1D1C，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1，∴B1D1⊥平面OO1C1C，平面OO1C1C∩平面B1D1C＝O1C，O1∈B1D1，故O到平面B1D1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高

OC?OO1?O1Ca?2a2?3a。

33a2h?解法四：（函数最小值法）如图，在上取一点M，作ME?BC于E，过E作EN?BD交BD于N，易知MN为BD与B1C的公垂线时，MN最小。设BE=x，CE=ME=a－x，EN=

2，MN==x2D1C1

122x??a?x?= 23?3?a22。?当时x?a，时，?x?a??2?2?332A1Ｄ Ａ N B132x?2ax?a2=2M Ｃ E Ｂ ?MN?min?3a。 3解法五：向量法(略)

16. (1）证明：因为AB=BC=CD=a，∠ABC=900，∴ACB=450，∠ACD=900，CD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACD，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB又AB⊥BC，所以，AB⊥平面BCD。 （2）作BO?AC于O，作OE?AD于E，连EO结BE，则?B即为所求二面角的平面角，易知：

，

A

B C B O D A

E

C OE?62a,BO?a62D ?tan?BEO?

BO?3,??BEO?600，即平面OE30

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