②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是?ABC的垂心 ③若?ABC?90，H是AC的中点，则PA?PB?PC ④若PA?PB?PC，则H是?ABC的外心 其中正确命题的命题是 三．解答题
15．在棱长为a 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。（1）求A1B1与截面A1ECF所成的角；（2）求点B到截面A1ECF的距离。
16．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｆ、Ｍ、Ｎ分别是Ａ１Ｂ１、ＢＣ、Ｃ１Ｄ１、Ｂ１Ｃ１的中点。 （１） 求证：平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。 （２） 求二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切值。
第四节 空间向量及坐标运算 一．高考考点 （一）空间向量
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 2.空间向量的运算（利用基底表示其它向量）
， OP?λa (??R) OB?OA?AB=a+b， AB?OB?OA（指向被减向量）运算律：
⑴加法交换律：a?b?b?a ⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) ⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b 3.共线向量（平行向量）
（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作a∥b
（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条
?????????件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。 ????????????????????????OP?OA?tAB，或OP?(1?t)OA?tOB ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
??????(2)共面向量定理:如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是，存在实数对
????x、y，使p=xa+yb
????????????推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP=xMA+yMB 或
?????????????????对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB
11
?????5.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序
?????实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使
op?xOA?yOB?zOC
6.两个向量的数量积:
???????????????(1) a与b的夹角: .记作 规定0???,则=
2??(2)模(长度):设 OA、的长度叫向量a的长度或模,记作a 、＝a,有向线段OA??????(3)数量积:a?b?abcos?a,b?
(4)AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影:A?B??AB?cos?a,e??a?e (5)空间向量数量积的性质:
?2???????????①a?e?acos?a,e? ②a?b?a?b?0 ③a?a?a
(6)空间向量数量积的运算律
????????①(?a)?b??(a?b) ②a?b?b?a (交换律)???????③a?(b?c)?a?b?a?c(分配律)
（二）空间向量的坐标运算 1．空间直角坐标
在空间选定一点O和一个单位正交基底{ī，j，k}，以点O为原点，分别以ī，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，ī，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量OA，存在唯一的实数组x、y、z. OA?xī+y j+z k. 记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标 2．向量的直角坐标运算
（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则
a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3) λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R） a·b=a1b1+a2b2+a3b3 a∥b? a1 =λb1 ，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R） a⊥b? a1b1+ a2b2 +a3b3=0 （2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则
AB?OB?OA?（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中
的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 3．夹角和距离公式
设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则
12
a?a?a?22 b?a12?a2?a3b?b??22 b12?b2?b3a·b= a1b1+a2 b2+a3b3 cos已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则 AB?a?b a1b1?a2 b2?a3b3a?a?a?b?b?b212223212223
AB?AB??x1?x2?2??y1?y2?2??z1?z2?2
dA,B??x1?x2?2??y1?y2?2??z1?z2?2 为空间两点间距离公式
4．如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为a??如果a??，那么向量a叫做平面α的法向量
5. 设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则AB中点坐标为(6.向量位置与立体几何中位置对照:
⑴ AB//CD?AB//CD?AB??CD ⑵ AB?CD?AB?CD?0
⑶ 证A、B、C、D四点共面可通过证AB?xAC?yAD或OA?pOB?qOC?rOD且p?q?r?1
2a1?b1a2?b2a3?b3,,) 222⑷AB?AB?AB
⑸ 线线角即为两向量的夹角或其补角
⑹ 线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减90⑺ 面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 ⑻ 距离可通过求在法向量上投影的长度得到
二．强化训练 一．选择题
1．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有OP?xOA?yOB?zOC(x,y,z?R), 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的 （ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 2．若a?b,a?c,l??a??c(?,??R),m//a，则m与l一定（ ） （A）相交 （B） 共线 （C）垂直 （D）以上都有可能
0
13
3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在线段
MN上，且分MN所成的比为２，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG，设OG＝
xOA?yOB?zOC，则x,y,z的值分别是（ ）
（Ａ）x?111111,y?,z? （Ｂ）x?,y?,z? 333336111111,y?,z? （Ｄ）x?,y?,z? 363633（Ｃ）x?
04．平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?1,AD?2,AA1?3,?BAD?90, 0 ?BAA1??DAA1?60，则AC1的长为（ ）
（Ａ）13 （Ｂ）23 （Ｃ）33 （Ｄ）43
5．已知向量a?(1,1,0), b?(?1,0,2),且ka?b与2a－b互相垂直，则k的值是（ ） （Ａ）1 （Ｂ）
137 （Ｃ） （Ｄ） 5556．如果平面的一条斜线和它在这个平面的射影的方向向量分别是a?(1,0,1), b?(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是（ ）
（Ａ）90 （Ｂ）60 （Ｃ）45 （Ｄ）30
7．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB?AC?0,AC?AD?0,AB?AD?0，则
0000?BCD是（ ）
（A）钝角三角形 （B）锐角三角形 （C）直角三角形 （D）不确定
8．在边长为1的正三角形ABC中，设BC?a,AB?c,AC?b，则a?b?b?c?a?c为（ ） （A）1.5 （B）?1.5 （C）0.5 （D）?0.5 9．a,b,c为任意向量，下列命题是真命题的为（ ）
（A）若|a|?|b|，则a?b （B）若a?b?a?c，则b?c
?且a与b夹角为45，则(a?b)?b 2|b|，
（C）(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b （D）若|a|?10．若A，B两点的坐标是A(3cos?,3sin?,1)，B(2cos?,2sin?,1)，则|AB|的取值范围是（ ） （A）[0,5] （B）[1,5] （C）(1,5) （D）[1,25]
14
二．填空题
11．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x? ；若a//b，则x? 。 12．已知点A,B,C?平面?，点P??，则AP?AB?0，且AP?AC?0是AP?BC?0 的 条件．
13．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
B1E1?D1F1?为 ．
A1B1，求BE1与DF1所成角的余弦值414．已知?ABC的三个顶点分别为A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)，
AD为角A的平分线，则AD的长为 。 三．解答题（共2个小题）
15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=a, ∠BAC=900, D是BC的中点，AA1=2a. (1) 求异面直线A1B和AC1所成角的余弦值； （2）求二面角D-AC1-C的正弦值。
16．在直三棱柱ABC-A1B1C1K 中，∠ABC=90，BC=2，CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。（1）求证B1D⊥平面ABD。（2）求证：面EGF//面ABD。（3）面EGF与面ABD的距离。
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