近年中考数学压轴题大集合（一）(3)

9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)，直径CD⊥x轴于0)、B(1，N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2) 求直线DF的解析式.

(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若

存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，

∴(?3)?1?m?1，m=3.

y D F ∴抛物线为y??x2?2x?3.

又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.

∴D点坐标为(?1，4).

(2) 由题意知：AB=4.

∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为(?1，?1).

设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP.

∴GC=GP. 可得CP=8.

∴P点坐标为(7，?1)

设直线DF的解析式为y?kx?b

5?k?????k?b?4?8则? 解得?

277k?b??1??b???8M N A C （第27题图）

O B G E x y D M N A C 4 F 3 2 O B 1 x G P E ∴直线DF的解析式为：y??x?85278

(3) 假设存在过点G的直线为y?k1x?b1， 则3k1?b1??1，∴b1??3k1?1.

?y?k1x?3k1?1?y??x2由方程组??2x?3 得x2?(2?k1)x?4?3k1?0

由题意得?2?k1?4，∴k1??6. 当k1??6时，???40?0， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.

10.已知二次函数y?12（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）x?bx?c的图象经过点A

2和点C，顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；

（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）解：∵二次函数y?12，B（－1，0） x?bx?c的图象过点A（－3，6）

y 2?9?b??1?3b?c?6???2得? 解得?3

?c???1?b?c?0?2??2∴这个二次函数的解析式为：y?12x?x?232

O x 由解析式可求P（1，－2），C（3，0） 画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°

又已知：∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC ∴

DCBC?PCAC43 易求AC?62,PC?22,BC?4

4353∴DC? ∴OD?3?? ∴D??5?,0? ?3? 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、 ∴

PEPF?EBFD23. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2

2353∴FD? ∴OD??1? ∴D??5?,0? ?3?（3）存在. （1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM

又∵MC?2OM且OM＋MC＝OC

∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0

（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C，OM??OC?2OM?

??得OM??32?3 ∴M′?32?3,0 即在x轴上存在满足条件的两个点.

y A ??6 5 4 3 2 M′ 1 E B -3 -2 -1 0 -1 -2 T H C F M 1 D 2 3 G P x S 11.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.

（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；

（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；

（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

y [解] （1）y?x?2x?3，顶点坐标为（1，－4）.

2（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，

A ∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a）， O B x C M ∴ S△ACB＝

12×4×?3a＝6a，

而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、

作MD⊥x轴于D，

又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）＋k，即y＝ax－2ax＋a＋k， 有菱形可知a?k＝k，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝?a22

2

12·1·3a＋

12（3a＋4a）－

12·2·4a＝a，

，

a2∴ y＝ax2－2ax＋

， ∴ EF?2.

记l与x轴交点为D，

若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝

66，

∴ k＝－

66，a＝

63，

∴ 抛物线的解析式为y?136x?2236x?66.

若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝

62，

∴ k＝－

62，a＝6，

∴ 抛物线的解析式为y?6x?26x?262.

②当抛物线开口向下时，同理可得

y??136x?2236x?66，y??6x?26x?262.

12.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的

2长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA?理由。

43∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

[解] （1）解法一：∵一次函数y? ∴点A的坐标为（4，0）

kx?4k的图象与x轴交于点A

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ?c?0，16a?4b?0 ?b??4a

解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x?2 ?x??b2a?2

?b??4a

（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y?ax2?4ax ∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a?0时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称

∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点

∴D'O⊥OD

∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ?OD?22 ∴点D的纵坐标为?2

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