近年中考数学压轴题大集合（一）

近年中考数学压轴题大集合（一）

一、函数与几何综合的压轴题

1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)

(1) 求证：E点在y轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，

如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

A

（2，-6）

图①

A （2，-6） 图②

B O E C（1，-3） C（1+k，-3）

y y D x B O E′ D x [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴

EO?ABEO?AB?DO?EO?BO?,? DBCDDBEO?DC又∵DO′+BO′=DB ∴

??1

∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵

DO?DB?EO?AB，∴DO??EO?AB?DB?26?3?1

∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上

方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①

再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②

?x?0联立①②得?

y??2?∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上

（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）

?4a?2b?c??6??E（0，-2）三点，得方程组?a?b?c??3?

?c??2??解得a=-1,b=0,c=-2

∴抛物线方程y=-x-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。 同（1）可得：

E?FAB?E?FDC?1 得：E′F=2 ?DFDB122

方法一：又∵E′F∥AB?S△AE′C= S△ADC- S△E′DC==

1312E?FAB，∴DF?13DB DC?23DB

DC?DB?DC?DF?12DC?DB=DB=3+k

S=3+k为所求函数解析式

方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′?12BD?E?F?12?3?k??2?3?k

∴S=3+k为所求函数解析式.

证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2

同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴S?AE?C?29S梯形ABCD?29?12?AB?CD??BD?3?k

∴S=3+k为所求函数解析式.

2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.

（1）求点A的坐标；

（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若

S1S2?h4，抛物线

y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.

[解]（1）解：由已知AM＝

在Rt△AOM中，AO＝

AM22，OM＝1，

?OM2?1，

∴点A的坐标为A（0，1）

（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），

AB＝

BO2?AO2?1?1?2，AM＝

222 2，BM＝2

2在△ABM中，AB＝

AB2?AM2?(2)?(2)22?4?BM

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线

（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ∴BC＝

AB22，AC＝2

22，

2?AC2?(2)?(22)?10

∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴S1?(BC2AC2)???(2102)???252

?y A 而S2?(S1S2)???(522222)???2?2

B D M · C x ??h

h即　　?,　　　?h?5 4，2?4?设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5

由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称

轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5

∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5

因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） ??a?b?c?0??由已知得?a?b?c?0　　　解得?24ac?b???5　?4a??a＝－5?a?5???b?0　　或　　?b?0 ?c?5?c??5??∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

y ⌒[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°

120?4?⌒ AB的长＝ ???2?180?3A O B x · P（1，－1） C y （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，

则C(1，－3).

点A、B、C在抛物线上，则 ?0?a(1?3)2?b(1???2?0?a(1?3)?b(1???3?a?b?c??2A M O B x · P（1，－1） ?a?1?3)?c 解之得?b??2

?c??2?3)?cC ?抛物线解析式为y?x?2x?2

（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.

又点D（0，－2）在抛物线y?x?2x?2上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分.

4.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； y （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？

C E 并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，Q F 过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否

存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的

O O2 B O1 x A 等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存

在，请说明理由.

2[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，

∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴(3)2?3OB?OB. ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c. ?3a??,?3?9a?3b?c?0,?2??3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3???c?3.?c?3.??y E M C N Q 2 4 3 1 F x A O1 P O O2 B ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??33x?2233x?3.

(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF.

∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切.

同理：EF理⊙O2相切.

(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO. ∴∴

MNAO?CNCO.

a3?3?a3.

解之，得a?33?32.

此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3233?32,0).

.

考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.

故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且

P(?33?32,0)或P(0,0).

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