近年中考数学压轴题大集合（一）(2)

5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

154，

238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不

在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；

(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)

Y D 12C P B O X [解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=

将点E的坐标E(边=

12154x+1. A ，

238)代入y=

12x+1中，左边=

238，右

×154+1=

238，

12 x+1上，即点A、C、E在一条直线上.

∵左边=右边，∴点E在直线y=

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点P的纵坐标为1＜

4a—b4a22

4a—b4a2，且P在矩形ABCD内部，∴

＜3，由1＜1—

b24a得—

b24a＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.

12（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—

12FO·AO=3 ∵OA=1，∴

GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=

1a＜0，∴x1＜0＜x2，

Y baba∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= —

∴—

=6，

D A C P E B ∴b= —6a,

∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—

6a?1229F O G X ＜a＜0.

y=ax2—6ax+1

12由方程组 y=

121x+1

得：ax2—（6a+

）x=0

∴x=0或x=

a=6+

2a.

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则

有：0＜6+

12a29≤

154，解得：—

11229≤a＜—

11212 ＜b＜

43综合得：—＜a＜— ∵b= —6a，∴

6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径；

（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；

（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；

（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o

再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx

任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)

再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分

(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分

y 0 x 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝

2(2?m)(?m)2?m?2m

2

同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ?m2?2m(m?0或m?2)∴S＝? 又若C(－2，0)， 2?m?2m(0?m?2)??m2?2m(m??2或m?0)此时l为y＝x，同理可得；S＝? 2?m?2m(?2?m?0)?

y l

B l E P′ (－2,0)C O C(2,0) x

F C O y A A P F （2,0） C F x

7.如图，直线y?kx?4与函数y?交于C、D两点．

（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

y mx(x?0,m?0)的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别

[解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)，

CA由S?COD?∴

122S?AOB，得S?COD?2(S?AOD?S?BOD)

OC··OD?2(

12OD··y1?212OD··y2)，OC?22(y1?y2)， BOPD又OC?4，∴(y1?y2)?8，即(y1?y2)?4y1y2?8， 由y?mx可得x?myx ，代入y?kx?4可得y?4y?km?0 ① 2y A ∴y1?y2?4，y1?y2??km， ∴16?4km?8，即k??2m又方程①的判别式??16?4km?8?0，

．

C∴所求的函数关系式为k??2m(m?0)．

OMPBND（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)． 则AP?BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵?MAP与?BPN都与?APM互余，∴?MAP ??BPN． ∴Rt?MAP∽Rt?NPB，∴∴

y1x2?2?2?x1y2AMPN?MPNBx ．

my1?2)(my2?2)?y1y2?0，

，∴(x1?2)(x2?2)?y1y2?0， ∴(即m2?2m(y1?y2)?4y1y2?(y1y2)2?0 ②

由（1）知y1?y2?4，y1?y2?2，代入②得m2?8m?12?0，

m?6??m?2?1， ∴m?2或6，又k??，∴?或?k??m??k??13?2m?6??m?2?1． ∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且?或?k??k??1??3?8.已知抛物线y?mx2?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=6.

（1）求抛物线和直线BC的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若?P过A、B、C三点，求?P的半径.

（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN?x轴于点N，使?MBN被直线BC分成面

积比为1?3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）由题意得：x1?x2?m?5m2,x1?x2??5m,x2?x1?6. y 20?m?5?2(x1?x2)?4x1x2?36,???36, ?m?m?解得m1?1,m2??57.

O x 经检验m=1，∴抛物线的解析式为：y?x2?4x?5. 或：由mx2?(m?5)x?5?0得，x?1或x??m>0, ?1??5m?6,?m?1.

2?5m ?抛物线的解析式为y?x?4x?5.

由x2?4x?5?0得x1??5,x2?1. ∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为y?kx?b,

?b??5,?b??5,??

k?b?0.k?5.??则?∴直线BC的解析式为y?5x?5. (2)图象略.

（3）法一：在RtDAOC中，?OA?OC?5,??OAC?45?.

??BPC?90?.

又BC?OB?OC22?26,

22∴?P的半径PB?26??13.

法二：

由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y?x2?4x?5的对称轴直线x??2上，设

P（－2，－h）（h＞0），

连结PB、PC，则PB2?(1?2)2?h2,PC2?(5?h)2?22， 由PB2?PC2，即(1?2)2?h2?(5?h)2?22，解得h=2.

?P(?2,?2),??P的半径PB?(1?2)?2?2213.

法三：

延长CP交?P于点F.

?CF为?P的直径，??CAF??COB?90?. 又?ABC??AFC,?DACF~DOCB.

?CFBC?ACOC2,?CF?2AC?BCOC.

又AC?5?5?52,CO?5,BC?52?5265?1?2226,?

?CF??213.

??P的半径为13.

（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t2?4t?5),则点E的坐标为(t,5t?5).

若SDMEB:SDENB?1:3,则ME:EN?1:3.

?EN:MN?3:4,?t?4t?5?2435(5t?5).

解得t1?1（不合题意舍去），t2??540?,?M?,?. 3?39?若SDMEB:SDENB?3:1,则ME:EN?3:1.

?EN:MN?1:4,?t?4t?5?4(5t?5).

2解得t3?1（不合题意舍去），t4?15,?M?15,280?.

?540??存在点M，点M的坐标为?,?或（15，280）.

39??

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