∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=∴∠AFG=∠G。
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE=BC﹣BE=100﹣x。
在Rt△CEG中，CG=EG+CE=（10﹣x）+100﹣x=200﹣20x。
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11AD=BC=5。∴AG=AF。 2212121CG）=CG=（200﹣20x）=50﹣5x。
24452252222
∴CE﹣CF=100﹣x﹣50+5x=﹣x+5x+50=﹣（x﹣）+50+。
24522
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE﹣CF取最大值。
2∵CF=GF（①中已证），∴CF=（
2
此时，EG=10﹣x=10﹣=25515515，CE=100?x2=100?=，
4222515CG15?2?∴tan?DCF?tan?G?。 15EG32【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】（1）利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全
等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，从而得解。 ②设BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG，从而得到CF，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。
6. （2018广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：
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2
2
2
（1）D是BC的中点； （2）△BEC ∽△ADC； （3）AB? CE=2DP?AD．
【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵AB=AC，∴D是BC的中点。
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。 （3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。
∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。 ∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。
ABADABBC。∴。 ??BCBEADBEAB2BDABBD∵BC=2BD，∴，即。 ??ADBE2ADBE∴
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴∴
DPBD。 ?CEBEABDP，即AB?CE=2DP?AD。 ?2ADCE【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。
（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。 （3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，
即可证得AB?CE=2DP?AD。
?的中点，过点D作EF⊥AC的延7. （2018贵州毕节14分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是BC长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。 （1）求证：EF是⊙O的切线；
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（2）若sin∠F=，AE=4，求⊙O的半径和AC的长。
13
【答案】（1）证明：连接OD，
?的中点，∴∠BOD=∠A。 ∵D是BC∴OD∥AC。
∵EF⊥AC，∴∠E=90°。∴∠ODF=90°。 ∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F= ，AE=4，
∴AF?13AE?12。 sin?F13设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，∴OF=3OD=3R。 ∵OF+OA=AF，∴3R+R=12，∴R=3。 连接BC，则∠ACB=90°。
∵∠E=90°，∴BC∥EF。∴AC：AE=AB：AF。 ∴AC：4=2R：4R，∴AC=2。 ∴⊙O的半径为3，AC的长为2。
【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线。
（2）先解直角△AEF，由sin∠F= ，得出AF=3AE=12，再在Rt△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，设⊙O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出⊙O的半径。连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。
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13138. （2018江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点 P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：
连接OB。
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。 ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。 ∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。 ∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。 ∴AB=AC。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。 又∵PC=25，
∴AB2?OA2?OB2?52?r2，AC2?PC2?PA2?2 5 由（1）AB=AC得5?r?2 5 ∴AB=AC=4。
∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。 ∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴
22??22?（5?r） 。
??22?（5?r），解得：r=3。
25265CPAP?，即，解得PB=。 ?6BP5PDBP 29
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=
11122AC=AB=5?r。 2221225?r≤r， 2又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=∴r≥5。
又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。
∴⊙O的半径r的取值范围为5≤r＜5．
【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°， ∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出
252?r2?2 5 ?（5?r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出
??2CPAP ，代入求出PB即可。 ?PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。
9. （2018山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。
∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。 ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。
（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。
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