初中数学 培优专题复习 中考压轴题 易错题 汇编 含答案 2：几何(3)

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。 ∴∠AOM+∠BOF=90°。

又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。 在△AOM和△BOF中，

∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB， ∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。

又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。 ∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。

∵OC=62，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（62）2，解得：CF=OF=6。 ∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

4. （2018广东珠海4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE= ▲ ．

【答案】

5。 13【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：

sin?OCE?OE5=。 OC135. （2018浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ▲ ．

11

【答案】3。

【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。

1∠EOF=∠BAC=60°， 233∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=。

22由圆周角定理可知∠EOH=由垂径定理可知EF=2EH=3。

6. （2018江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这 些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ▲ ．

【答案】2。

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。 【分析】如图，连接BE，交CD于点F。

∵四边形BCED是正方形， ∴DF=CF=

11CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。 22根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。

12

∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=在Rt△PBF中，tan?BPF?11CF= BF。 22BF?2。 PF∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。

7. （2018福建福州4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于 点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(结果保留根号)

【答案】

5－15＋1

；。 24

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：

180°－∠A∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝72°。

21

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°。

2∴ ∠A＝∠DBC＝36°。

又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴

ACBC

＝。 BCCD

5＋15－11x

设AD＝x，则BD＝BC＝x．则＝，解得：x＝(舍去)或。

x1－x22∴x＝

5－1

。 2

11

如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD＝BD，∴E为AB中点，即AE＝AB＝。

221

25＋1AE

在Rt△AED中，cosA＝＝＝。

AD45－1

2

8. （2018湖北宜昌3分）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】

13

A．【答案】B。

B． C． D．

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交?d＜r；②直线l和⊙O相切?d=r；③直 线l和⊙O相离?d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，

∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，

∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交。故选B。 【宜昌无填空题，以倒数第二条选题代替】

9. （2018湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ▲ ． 【答案】4或3或43。 3【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：

（1）如图，当AB=AC时，

∵∠A=30°， ∴CD=

11AC=×8=4。 22（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°。

∴∠ACD=60°。∴∠BCD=30° ∴CD=cos∠BCD?BC=cos30°×8=43。 （3）如图，当AC=BC时，则AD=4。

∴CD=tan∠A?AD=tan30°?4=43。 343。 3综上所述，AB边上的高CD的长是4或3或10. （2018湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为 ▲ ．

14

【答案】4。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。 【分析】过点A作AE∥CD交BC于点E，

∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形。 ∴AE=CD=2，AD=EC=2。

∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形。∴BE=AB=AE=2。 ∴BC=BE+CE=2+2=4。

11. （2018四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ▲ 。

【答案】36。

【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。

∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。 ∴EH=

1 BD=3。 211 AC=3，FG= BD=3。 22同理可得EF=GH=

∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。 ∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。 ∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。

12. （2018贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ▲ ．

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