复变函数与积分变换复习提纲以及5套题

复变函数复习提

纲

(一)复数的概念

z1z2?x1?iy1?x2?iy2?x1?x??2iy1??x?2?2xi?2y?i?2y??i2yx?x122yy21?i2?2xy2?yx122?21.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数,

x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1.

注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：

z?x2?y2；

2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为

Arg?z?（多值函数）；主值

arg?z?是位于(??,?]中的幅角。

3）arg?z?与arctanyx之间的关系如下：

当x?0,

argz?arctanyx；

?当?x?0,?y?0,argz?arctany??

?x；

??y?0,argz?arctany?x??4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中

??argz；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：z?zei?，其中??argz。

(二) 复数的运算 1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1?z2??x1?x2??i?y1?y2?

2.乘除法： 1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

。

2）若zi?21?z?11ei,z2?z2e, 则

zi??1??21z2?z1z2e?；

z1?z1i??1??2?z

2ze23.乘幂与方根 1） 若

z?z(cos??isin?)?zei?，则

zn?zn(cosn??isinn?)?znein?。

2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则

1nz?zn???2k???2k??cos?isin??nn??（有n个相异的值）

（三）复变函数 1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以

看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数 1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数：Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,1,2?

(k?0,?1,?2?)（多值函数）；

面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。

主值：lnz数）

Lnz?lnz?iargz。（单值函

（四）解析函数的概念

的每一个主值分支lnzz在除去原1．复变函数的导数 1

f??z0?点及负实轴的平面内处处解析，且）=limf点可

??z??f?z导：

?lnz???1z；

?z0?z0?；

?z?0注：负复数也有对数存在。（与实函数不

2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。

同）

2．解析函数的概念

3）乘幂与幂函数：abz?ebbLnz?ebLna(a?0)；

1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内

(z?0)

可导，称f?z?在z0点解析；

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处

2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，

解析，且?zb??4

）

eiz?bzb?1。

称f?z?在区域内解析；

函

eiz三

?e2i?iz角

,cosz?数

,tgz?：

3）若

f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的

sinz??e2?izsinzcosz,ctgz?cosz奇点； sinz3．解析函数的运算法则：解析函数的和、

sinz,cosz在

,z平面内解析，且

zs in差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件 1．函数可导的充要条件：

?sinz???cozs?c?z?o?s?注：有界性

sinz?1,cosz?1不再成立；

（与实函数不同） 4） 双

shz?e?e2z曲

?zz函

e?e2?z数

；

f?z??u?x,y??iv?x,y?在

z?x?iy可

,chz?导

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在

C?Dshzshz,chz在z平chz是偶函数。奇函数，

?x,y? 处满足

1

条件：

?u?x??v?y,?u?y???v?x

?v?x3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章

。

习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

此时， 有f??z???u?x?i2．函数解析的充要条件：

f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

1．

复变函数积分的概念：

n?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，

足

,?u?yC?D且

?u?x?满

?v?y条件：

?cf?z?dz?limn???f????z，c是光滑

kkk?1???v?x；

曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上

此时f??z???u?x?i?v?x。

的线积分。 2．

复变函数积分的性质

f注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域

D内是可微的。因此在使用充要条件

1）?c?z?dz???c?1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；

证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足

f(z)?u?ivC?R条件时，函数

2）?[?cf?z???g?z?]dz???cf?z?dz???cg?z?dz,?,?是常数；

一定是可导或解析的。

3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则

?

3．函数可导与解析的判别方法

1

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以

cf?z?dz??c1f?z?dz??cf2?z?dz。

3．复变函数积分的一般计算法

）

c化

?为线

c积分：；（常

?f?z?dz?cudx?vdy?i?vdx?udy用于理论证明）

2）参数方法：设曲线

fc：

如第二?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，

z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的

章习题2）

起点，?对应曲线

2

c的终点，则

?cf?z?dz????f[z?t?]z?(t)dt。 内的一个原函数，则

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连

?

z2z1f?z?dz?G?z2??G?z1?(z1,z2?B) 说明：解析函数f?z?沿非闭曲线的积

域B内解析，c为B内任一闭曲线，则 分与积分路径无关，计算时只要求出原函

??f?z?dz?0

c数即可。

5。 柯西积分公式：设f?z?在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z0为c内任意一点，则??f2．复合闭路定理： 设f?z?在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,?cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以

c1,c2,?cn为边界的区域全含于D?z?c内，

z?z0dz?2?if?z0?

6．高阶导数公式：解析函数f?z?的导数

则

仍为解析函数，它的n阶导数为

n① ??f?z?dzc????f?z?dz, 其

k?1ck

中c与ck均取正向；

② ??f?z?dz???

f?z?c?0，其中?由c及

(z?z0)dz?n?12?in!f?n??z0?(n?1,2?)c?1(k?1,2,?n)所组成的复合闭路。

其中c为f?z?的解析区域D内围绕z0的

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的

任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部

解析函数f?z?沿闭曲线c的积分，不

完全属于D。

因c在D内作连续变形而改变它的值，

7．重要结论：

只要在变形过程中c不经过使f?z?不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设f?z?在单连域B内解析，G?z?为f?z?在B

3

??(z?a)c1n?1?2?i,dz???0,n?0n?0。

（c是包含a的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法

1）若f?z?在区域D内处处不解析，用一般积分法?f（八）解析函数与调和函数的关系 1．调和函数的概念：若二元实函数?(x,y)在

2c?z?dz????f[z?t?]z??t?dt

2）设f?z?在区域D内解析， ?

cD内有二阶连续偏导数且满足

???y22是D内一条正向简单闭曲线，则由

c???x2??0，

柯西—古萨定理，???

cf?z?dz?0

?(x,y)为D内的调和函数。

是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应

2．解析函数与调和函数的关系

曲线c的起点和终点，则有

?

cf?z?dz??zz21? 解析函数

ff?z??u?iv的实部u与虚

?z?dz?F?z2??F?z1?部v都是调和函数，并称虚部v为实部

u的共轭调和函数。

u3）设f?z?在区域D内不解析

? 两个调和函数

? 曲线

c与

v构成的函数

内仅有一个奇点：

f(z)?u?ivf?z?????cz?zdz?2?if?z0??0?f?z?2?i?n??dz?f?z0??c(z?z)n?1??n!0?不一定是解析函数；但是

（

f(z)若u,v如果满足柯西—

黎曼方程，则u?iv一定是解析函数。 3．已知解析函数f?z?的实部或虚部，求解析函数f?z??u?iv在c内解析） ? 曲线

fc内有多于一个奇点：

n的方法。

?u?x,y?，利

???z?cd?z?k?1ck???z?fdzci（

内只有一

1）偏微分法：若已知实部u用C?R个奇点zk）

n条件，得

?v?y?u?x?v?v,?x?y；

或：??f?z?cd?z2??k?1iRe[s(fk)z,z]对

?u?两边积分，得

（留数基本定理） ? 若被积函数不能表示成

fv???xdy?g?x? （*）

再对（*）式两边对

x?z?n?1(z?zo)，则

?v求偏导，得

须改用第五章留数定理来计算。

4

?x????u?dy????g??x??x??x? （**）

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