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高中数学探究性试题
课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。
探究性试题有助于数学思维的提高。
1．已知集合M是满足下列性质的函数f?x?的全体：在定义域内存在x0，使得
f?x0?1??f?x0??f?1?成立。
1是否属于集合M？说明理由； xa （2）设函数f?x??lg2?M，求a的取值范围；
x?1 （1）函数f?x?? （3）设函数y?2图象与函数y??x的图象有交点，证明：函数f?x??2?x?M。
xx2解：（1）若f?x??21112 ??1?x0?x0?1?0，?M，在定义域内存在x0，则
x0?1x0x ∵方程x0?x0?1?0无解，∴f?x?? （
2
1?M。 x）
f?x??lg，
aaaa?M?lg?lg?lg??a?2?x2?2ax?2?a?1??02222x?1x?1?x?1??11由??0，得a2?6a?4?0?a?3?5,2?2,3?5。 a?2时，x??；a?2时，
2 ∴a?3?5,3?5。 （
3
22??????）∵
f?x0?1??f?x0??f?1??2x0?1??x0?1??2x0?x0?3?2x0?2(x0?1)?22x0?1??x0?1?，
又∵函数y?2图象与函数y??x的图象有交点，设交点的横坐标为a，
x??1
1
则2a?a?0?2x0?1??x0?1??0，其中x0?a?1。
x2∴f?x0?1??f?x0??f?1?，即f?x??2?x?M。
2．已知等差数列?an?中，公差d?0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3?45,a1?a4?14， （1）求数列?an?的通项公式； （2）通过bn?数列； （3）求f(n)?Sn构造一个新的数列?bn?，是否存在一个非零常数c，使?bn?也为等差n?cbn(n?N*)的最大值。
(n?2005)?bn?1 解：（1）∵等差数列?an?中，公差d?0，
?a2?a3?45?a2?a3?45?a2?5?????d?4?an?4n?3。 ∴?a?9a?a?14a?a?1434?1?3?21??2n?n??Sn?1?4n?3?1?12?? （2）Sn?，令c??，即得?2n?n??，bn?n??22?n?cn?c2?bn?2n，
数列?bn?为等差数列，∴存在一个非零常数c?? （
3
1，使?bn?也为等差数列。 2）
f(n)?bnn??(n?2005)?bn?1?n?2005??n?1?11?，
2005n??200622005?2006n ∵45?2005?即45?2005?
?2005?44?89?22005?7921?8020?0，
?2005?44， ∴n?45时，f?n?有最大值
459。 ?2050?46188603．已知数列?an?中，a1?1,且点P?an,an?1?n?N?在直线x?y?1?0上. （1）求数列?an?的通项公式；
??1
1
（2）若函数f(n)?的最小值； （3）设bn?123n?n?N,且n?2?,求函数f(n)?????n?a1n?a2n?a3n?an出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
1,Sn表示数列?bn?的前项和。试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得 anS1?S2?S3???Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写
解:（）1?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1,且a1?1?数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列。?an?1?(n?1)?1?n(n?2),a1?1也满足?an?n.?3分（2）?f(n)?111111111????,f(n?1)????????，n?1n?22nn?2n?3n?42n2n?12n?2111111?f(n?1)?f(n)???????0,??6分2n?12n?2n?12n?22n?2n?17?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?。??8分12
（3）?bn?11111?Sn?1?????,?Sn?Sn?1?(n?2),?10分n23nn即nSn?(n?1)Sn?1?Sn?1?1,?(n?1)Sn?1?(n?2)Sn?2?Sn?2?1,?，S2?S1?S1?1，?nSn?S1?S1?S2???Sn?1?n?1,?S1?S2???Sn?1?nSn?n?(Sn?1)?n(n?2)?g(n)?n.?13分 故存在关于n的整式g(n)?n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立??14分
4．设函数g?x??x?1，函数h?x??1,x???3,a?，其中a为常数且a?0，令函数x?3f?x?为函数g?x?和h?x? 的积函数。
（1）求函数f?x?的表达式，并求其定义域； （2）当a?1时，求函数f?x?的值域； 4（3）是否存在自然数a，使得函数f?x?的值域恰为?,?？若存在，试写出所有满足条
32件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。 解：（1）f?x???11???x?1，x??0,a??a?0?。 x?3 （2）∵a?1?1??3?2，∴函数f?x?的定义域为?0,?，令x?1?t，则x??t?1?，t??1,?， 4?4??2? ∴f?x??F?t??t?t2?2t?41， 4t??2t1
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∵t?44?3??3?时，t??2??1,?，又t??1,?时，t?递减，∴F?t?单调递增，
tt?2??2??16??16???fx，即函数的值域为??3,13?。 313???? ∴F?t???,（3）假设存在这样的自然数a满足条件，令x?1?t，则
f?x??F?t??t?2t?2t?41， 4t??2t∵x??0,a??a?0?，则t?1.a?1，要满足值域为?,?，则要满足F?t?max?，
2?32?由于当且仅当t????11?1414有t??4中的等号成立，且此时F?t??恰为最大值， ?t?2时，
t2t∴2?1,a?1?a?1，
又F?t?在?1,2?上是增函数，在2,a?1上是减函数，∴F?????a?1??a?11?a?33?0?a?9，
综上，得 1?a?9 。
13x,x???2,2?,a为正常数。 2a?b（1）可以证明：定理“若a、b?R?，则”?ab（当且仅当a?b时取等号）
25．已知
f?x??a2x?推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f?x??0在?0,2?上恒成立，且函数f?x?的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y?f?x?的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x?x1时，f?x?取得最大值。试构造一个定义在
D??xx??2,且x?4k?2,k?N?上的函数g?x?，使当x???2,2?时，g?x??f?x?，
当x?D时，g?x?取得最大值的自变量的值构成以x1为首项的等差数列。 解：（1）若a、b、c?R?，则
a?b?c3。 ?abc（当且仅当a?b?c时取等号）
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（2）f?x??a2x?成立， ∵又
3131?1?x?x?a2?x2??0在?0,2?上恒成立，即a2?x2在?0,2?上恒22?2?12x??0,2?，∴a2?2，即a?2， 2∵
?f?x??2?2?212??212??x??a?x???a?x??23??1??1?2a?2??2???? ??x2?a2?x2??a2?x2???????2??2??3???3?????∴
x2?a2?12x2，即
3x?6a3时，
fm263936?6?63??， ?a?1?a????a?ax??942226??6a??0,2?，∴a?0,6。 综上，得a?3又∵x????2,6 。
? 易知，f?x?是奇函数，∵x?值。
66a时，函数有最大值，∴x??a时，函数有最小33???6??666?a???a,2?故猜测：x???2,???时，f?x?单调递减；x???3a,3a?时，f?x?33??????单调递增。
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。
如对x??4k?2,4k?2?,k?N，x?4k???2,2?，此时g?x??g?x?4k??f?x?4k?， 即 g?x??a2?x?4k??
226．已知函数f?x??ax?24?2b?bx，g?x???1??x?a?，?a,b?R?
1?x?4k?3,x??4k?2,4k?2?,k?N 。 22（1）当b?0时，若f?x?在?2,???上单调递增，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有实数对?a,b?：当a是整数时，存在x0，使得f?x0?是f?x?的最大值，g?x0?是g?x? 的最小值；
（3）对满足（2）的条件的一个实数对?a,b?，试构造一个定义在D??x|x??2，且
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