高中数学探究性试题探究性试题有助于数学思维的提高(7)

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∴n?2时,Sn?b1?b2?b3???bn?1?(?)?(?)???(2325252722?) 2n?12n?1225?1??? ?（11分）

32n?13现证Sn?6n(n?1)(2n?1)(n?2).

当n?2时Sn?b1?b2?1?6n1245415??,?， ?,而(n?1)(2n?1)3?554544故n?2时不等式成立 ??（12分）

1111当n?3时,由bn?2?得 ??n(n?1)nn?1n1111111Sn?b1?b2?b3???bn?(1?)?(?)?(?)???(?)

22334nn?11n6，且由2n?1?6， ?1??得1?n?1n?12n?1∴Sn?

34．已知函数f(x)?x2?(a?3)x?a2?3a（a为常数）.

（1）如果对任意x?[1,2],f(x)?a2恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设实数p,q,r满足：p,q,r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f(x)?0

的两实根，判断①p?q?r，②p2?q2?r2，③p3?q3?r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g(a)，并求g(a)的最小值； （3）对于（2）中的g(a)，设H(a)??[g(a)?27]，数列{an}满足an?1?H(an)(n?N*)，

且a1?(0,1)，试判断an?1与an的大小，并证明.

解：（1）?f(x)?a2?x2?(a?3)x?3a?0?(x?3)(x?a)?0对x?[1,2]恒成立， 又?x?3?0恒成立，?a??x,又?x?[?2,?1]，?x?a?0对x?[1,2]恒成立，?a??2. （2）由??(a?3)2?4(a2?3a)?0得：?1?a?3，不妨设a?p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：

①

n6n ?? （14分） ?n?1(n?1)(2n?1)16p?q?r?3,qr?a2?3a,?②

p2?q2?r2?a2?(q?r)2?2pr?a2?(3?a)2?2(a2?3a)?9

③而p3?q3?r3?a3?(q3?r3)?a3?(q?r)[q2?qr?r2]?3a3?9a2?27. 设g(a)?3a3?9a2?27，求导得：g(a)?9a2?18a?9a(a?2)

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当a?[2,3]时，g(a)?0,g(a)递增；当a?[0,2]时，g(a)?0,g(a)递减； 当a?[?1,0]时，g(a)递增，?g(a)在[?1,3]上的最小值为?0g,a(min{g(?1),g(2)}?min{15,15}?15

1631如果a?(0,1)，则H?(a)?3a?a2?3a(1?a)?0?H(a)在(0,1)为递增函数，

221?H(a)?(H(0),H(1))?(0,1),?an?1?H(an)??(3an3?9an2)6（3）H(a)??[g(a)?27]??(3a3?9a2),

16?a1?(0,1)?a2?(0,1)???an?(0,1)??

又?an?1?an??an3?an2?an??an(an?2)(an?1)?0?an?1?an.

3333235．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N，都有a1，记?a2?a3???an?Sn+

123212Sn为数列{an}的前n项和.

2 （1）求证：an=2Sn－an； （2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn?3n?(?1)n?1??2n（?为非零常数，n∈N），问是否存在整数?，使得对

+

a任意 n∈N，都有bn+1>bn.

解：（1）在已知式中，当n=1时，a1?a1 ∵a1>0 ∴a1=1??1分

3333233332?a2?a3???an?Sn?a2?a3???an 当n≥2时，a1 ① a1?1?Sn?1

+

32②

3?an(2a1?2a2???2an?1?an)??3分 ①－②得，an222 ∵an>0 ∴an=2a1+2a2+?+2an－1+an， 即an=2Sn－an ∵a1=1适合上式 ∴an=2Sn

－an(n∈N+)??5分

22 （2）由（1）知an=2Sn－an(∈N+) ③ 当n≥2时， an?1=2Sn－1－an－1 ④ 22 ③－④得an－an?1=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1

∵an+an－1>0 ∴an－an－1=1??8分 ∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可

得an=n?9分 （3）∵an?n?bn?3n?(?1)n?1??2an?3n?(?1)n?1??2n

?bn?1?bn?[3n?1?(?1)n??2n?1]?[3n?(?1)n?1??2n]?2?3n?3?(?1)n?1?2n?0

∴(?1)n?1???()n?1 ⑤?11分

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当n=2k－1，k=1，2，3，??时，⑤式即为??()2k?2 ⑥ 依题意，⑥式对k=1，2，3??都成立，∴λ<1??????12分

323233依题意，⑦式对k=1，2，3，??都成立，∴?????13分∴????1,又??0

22当n=2k，k=1，2，3，?时，⑤式即为???()2k?1 ⑦

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1>bn

36．设关于x的方程x2?mx?1?0有两个实根?、?，且???.定义函数f(x)?（1）求?f(?)??f(?)的值；

（2）判断f(x)在区间(?,?)上的单调性，并加以证明； （3）若?,?为正实数，证明不等式：|f(2x?m. 2x?1??????????)?f()|?|???|.

???????????m（1）解：∵?,?是方程x2?mx?1?0的两个实根 ∴?

?????1?2??(???)??? ∴f(?)?2?2?m???1 同理f(?)?1 ∴2?(???)????1?????f(?)??f(?)?2 ?3分

2(x2?1)?(2x?m)?2x2(x2?mx?1)2x?m??（2）∵f(x)?2 ∴f?(x)? ?4分

(x2?1)2(x2?1)2x?1 当x?(?,?)时，x?mx?1?(x??)(x??)?0 ?5分 而f?(x)?0

∴f(x)在(?,?)上为增函数?7分

2??????(???)??(???)??????????0

???????????????(???)??(???)?????????????9分 ?????0 ∴??????????????????? 由（2）可知f(??)f(??)f ( ) 同理可得

????????f(?)?f()?f(?) ?10分

?????????????)?f()?f(?)?f(?) ∴f(?)?f(?)?f(???????????????? ∴f()?f()?f(?)?f(?) ?12分

??????（3）∵?,??R?且??? ∴ 又

由

（

1

）

知

f(?)?1,f(?)?1,????1?? ∴

1

1

???f(?)?f(?)?|1?1|??|???|

???? 所以 |f(

37. 已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn?2n(1?n)。

①求a1；

②求证：数列{an}是等比数列；

③是否存在常数a，使得?Sn?1?a???Sn?2?a??Sn?a?对n?N?都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。 解、①a1?1；③a?

38．已知集合M?{f(x)|f(x)?f(x?2)?f(x?1),x?R}，g(x)?sin （1）判断g(x)与M的关系，并说明理由；

（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论； （3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。 解（1）∵g(x)?g(x?2)?sin=sin2??????????)?f()|?|???|.

??????4 3?x3。

?x3?sin(?x3?2???)?2sin(x?1)cos 333?3(x?1)?g(x?1) ∴g(x)?M??6分

（2）因g(x)是周期为6的周期函数，猜测f(x)也是周期为6的周期函数 由f(x)?f(x?2)?f(x?1)，得f(x?1)?f(x?3)?f(x?2)， ∴f(x)?f(x?2)?f(x?1)?f(x?3)?f(x?1)?f(x?2) ∴f(x)?f(x?3)?0， ∴f(x?3)??f(x)，

∴f(x?6)??f(x?3)?f(x)，得证f(x)是周期为6的周期函数， 故M中的元素都是周期为6的周期函数。??12分 （3）令h(x)?cos?x3，可证得h(x)?h(x?2)?h(x?1)??16分

∴h(x)?M，但h(x)是偶函数，不是奇函数， ∴M中的元素不都是奇函数。?

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39．已知函数f(x)?x?22?alnx(x?0), x(1) 若f(x)在[1,??)上单调递增，求a的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数y?f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式

x?x1[f(x1)?f(x2)]?f(12)成立，则称函数y?f(x)为区间D上的“凹函数”. 22试判断当a?0时，f(x)是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

22a解：（1）由f?x??x2??alnx，得f'?x??2x?2???2分

xxx欲使函数为[1,??)上单调增函数，则f'?x??0在[1,??)上恒成立，即不等式2x?在[1,??)上恒成立.也即a?令?(x)?2a??0x2x2?2x2在[1,??)上恒成立.??4分 x22?2x2，上述问题等价于a??(x)max，而?(x)??2x2为在[1,??)上的减函xx数，则?(x)max??(1)?0，于是a?0为所求.?6分

2（2）证明：由f?x??x2??alnx 得

x?11?a122x?x??12??x?x??2?lnx1?lnx2?22?12?x?x1??x12?x22??12?alnx1x2 ??7分 2x1x2?x?x4?x?x??x?x?f?12???12???aln12??8分

2?2??2?x1?x22x1?x2?11 而?x12?x22????x12?x22??2x1x2??? ① ??10分 ???2?24??2f?x1??f?x2?2又?x1?x2??x1?x222?2??2xx12?4x1x2， ∴

x1?x24 ②?11分 ?x1x2x1?x2∵

x1x2?x?x2x1?x2x?x2 ∴lnx1x2?ln1，∵a?0 ∴alnx1x2?aln1

2222③ ?13分

x?x214?x?x?由①、②、③得?x12?x22??1?alnx1x2??12???alnx1x2 即

2x1x2?2?x1?x2f?x1??f?x2??x?x??f?12?，

2?2?从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. ??14分

x2y240．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右准线l1:x?2与x轴相交于点D，右焦点F到

ab上顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF上的一个动点.

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(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得

(CA?CB)?BA,并说明理由.

?a2??2解 (1)由题意可知?c，又a2?b2?c2，解得a?2,b?c?1，?椭圆

?b2?c2?2?x2的方程为?y2?1；

2（2）由（1）得F(1,0)，所以0?m?1.假设存在满足题意的直线l，设l的方程为

x2?y2?1，得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0， y?k(x?1)，代入24k22k2?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2? ① ,x1x2?2k2?12k2?1?y1?y2?k(x1?x2?2)??2k2k2?1，

4k2?2k?CA?CB?(x1?m,y1)?(x2?m,y2)?(2?2m,2)，

2k?12k?1?(CA?CB)?AB,而AB的方向向量为(1,k),

4k2?2k?2?2m?2?k?0?(1?2m)k2?m; 2k?12k?1?当0?m?m11时,k??,即存在这样的直线l; 当?m?1时,k不存在,即

1?2m22不存在这样的直线l .

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