电磁场与电磁波习题答案4(2)

求得常数 C1??V0lnba。那么，电场强度为

E?r???d?dr?V0rlnbaer

电流密度为

J??E??V0rlnbaer

电流强度为

?I??J?dS???20d?V0?b?aln???a?0ad?dz??d?V0?b?2ln???a?

由此求得两个表面之间的电阻为

R?V0I??b?2ln???a??d?

4-6 若两个同心的球形金属壳的半径为壳之间填充媒质的电导率???0?1???k??r?，球rr1及r2(1?r2)，试求两球壳之间

的电阻。

解 对于恒定电流场，因???代入??J?0，得

????????0

J?J???????0，可令????。将其

建立球坐标系，上式展开为

1r2d?2?k?d??r?1???0???0dr?rdr???rr?k?C2

该方程的解为

??C1ln那么，求得电流密度为J????????C1kr?r?k????0C1kr2er

6

两球壳之间的电流为

I??J?ds?4??s0C1k

er

两球壳之间的恒定电场为 两球壳之间的电位差为

E?J???C1kr?r?k?U??E?dl??r2C1kr?r?k?r1dr?C1lnr2?r1?k?r1?r2?k?

求得两球壳之间的电阻为

R?UI?14??0klnr2?r1?k?r1?r2?k?

4-7 已知截断的球形圆锥尺寸范围为r1?r?r2，0????0，电导率为?，试求r?r1及r?r2两个球形端面之间的电阻。 解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由上例获知

???0

2那么

C1d?2d???C2； ?r??0???dr?dr?r求得 电流密度 J?那么，电流

I?C1r2er；电场强度

E?C1?r2er

?J?ds?s??02??0C1r120?r1sinθd?d??2??1?cos?0?C1

2电位差

U??UE?dl??r2C1r1?r12dr?C1?11???? ???r1r2??因此电阻

?11??? R?????I2???1?cos?0??r1r2??7

4-8 若上题中电导率???0r1r，再求两球面之间的电阻。

解 由于媒质是非均匀的，那么由

????????0?d?2?0r1d????r???0，

dr?rdr?求得

??C1lnr?C2

J????????C1?err??电流密度

?0C1rr2er

电场强度 电流

I?E?J???C1rer

?J?ds?s??02??0?0C1r1r120?r1sinθd?d??2??1?cos?0??0C1r1

2电位差

U??UIE?dl?C1lnr2r1

r2r1因此电阻

R??12??1?cos?0??0r1ln

4-9 若两个半径为a1及a2的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为?及?，两个球心间距为且d??a1，d??a2，试求两导体球之间的电阻。 解 设两球携带的电荷分别为Q和-Q，考虑到两球相距很远，d??a1,d??a2，两球表面电荷分布可视为均匀。因此，两球的电位分别为

?1?1?QQ???， ??4???a1d?a1??d，

?2?1??QQ??? ??4???a2d?a2??则两球之间的电位差为

U??1??2?Q?1111??? ????4???a1a2d?a1d?a2??那么，两球之间的电容

8

C?QU?4???112??? ???ad??1a2?根据静电比拟，两球之间的电阻应为

?112?? R??????C?4???a1a2d???14-10 知半径为25mm的半球形导体球埋入地中，如习题图4-10所示。若土壤的电导率??10?6(S/m)，试求导体球的接地电阻（即导体球与无限远处之间的电阻）。

解 已知半径为a的孤立导体球与无限远处之间的电容为 C?4?? a，那么根据静电比拟，埋地导体球的电阻R为

RC??0 习题图4-10

2a ? =10-6S/m ???R??C??14?? a

对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻加倍，即

R?12?? a?6.36?106?

4-11 恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为

??E????????????????????

解 已知恒定电流场是无散的，即 ??J?0，那么

????E?????E?E????0

又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即

??D???????E???????E?E?????

9

由上两式求得

??E????????????????????

a?b，四

4-12 若一张矩形导电纸的电导率为?，面积为

周电位如习题图4-12所示。试求：①导电纸中电位分布； ②导电纸中电流密度。

???n?0

? n

Y

???n?0 ? = V0 ? = 0 ? a X b 习题图4-12

解 (1) 建立直角坐标，根据给定的边界条件，得

???yy?0?0, ???yy?b?0

?0?x?a?

??0,y??0, ??a,y??V0 ?0?y?b?

导电纸区域中电位的通解为

??x,y???A0x?B0??C0y?D0????Ansh?knx??Bnch?knx???Cnsin?kny??Dncos?kny??n?1?

由边界条件

???y??0及 y?0???yy?b?0得

?A0x??A0x?B0?C0???An?1?nsh?knx??Bnch?knx??Cnkn?0

B0?C0??k?Ann?1nsh?knx??Bnch?knx???Cncos?knb??Dnsin?knb???0由此求得常数： Cn?0，其中n?0,1,2,?

kn?n?b，其中n?1,2,?

代入上式，得

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