第四章 静电场
重点和难点
主要介绍电流的种类，理想导体和理想介质，电动势，电流连续性原理以及能量损耗等。
关于恒定电流场与静电场的比拟可以略去。
重要公式
在无外源的导电媒质中，恒定电流场方程：
积分形式： 微分形式：
? l J??dl?0
? J?dS S?0
?J??? ???0?????J?0
在均匀导电媒质中，恒定电流场方程：
积分形式： 微分形式：
? J?dl?0
l
J2t? J?dS S?0
?? J?0
???J?0
恒定电流场边界条件： 恒定电场边界条件：
J1t?1?
J1n?J2n
2E1t?E2t ?1E1n??2E2n
恒定电流场的能量损耗：
pl?E?J题 解
4-1 已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压6V时，线中产生的电流为
16A，试求：
① 导线的电导率；② 导线中的电场强度；③ 导线中的损耗功率。
1
解 （1） 由V?IR，求得 R?由 R????61/6?36???
?S?RS，求得导线的电导率为
?103?3236????0.5?10??3.54?107?Sm?
（2） 导线中的电场强度为
E?V??6103?6?10?3?Vm?
（3） 单位体积中的损耗功率 Pl??E2，那么，导线
的损耗功率为
P??E?rL?1?W?
224-2 设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b，填充媒质的电导率为?。根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。
解 设r?a时,??V;r?b时，??0。建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
???21d?d???r??0 rdr?dr?求得同轴线中的电位?及电场强度E分别为
???Vln??r??b??a?ln?? ?b? E??????1rV?a?ln???b?er
则 J??E??1r?V?a?ln???b?er
单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为
I??J?ds?s2??V?a?ln???b?
2
那么，单位长度内同轴线的漏电导为
G?1R?IV?2???a?ln???b??Sm?
4-3 设双导线的半径a，轴线间距为D，导线之间的媒质电导率为?，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。
解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+?和??，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的电场强度大小为
E?1???? 2???rD?r???1那么，两导线之间的电位差为
V??d?aaE?dr????lnD?aa
单位长度内两导线之间的电流大小为
I??J?ds?s??E?ds?s??D??D?a?
则单位长度内两导线之间的漏电导为
G?1R?IV???D?D?a??D?a?ln??a?? ?Sm?
若D??a则单位长度内双导线之间的漏电导为
G????D?ln???a? ?Sm?
4-4 已知圆柱电容器的长度为L，内外电极半径分别为a及b，填充的介质分为两层，界面半径为c。在a?r?c区域中，填充媒质的参数为
?1?1；在c?r?b区域中，媒
质参数为?2?2。若接上电动势为e的电源，试求：① 各区域中的电流密度；② 内外导体表面上以及介质表面上
3
的驻立电荷密度。
解 (1) 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
???21d?d???r??0 rdr?dr?忽略边缘效应，设媒质①和媒质②内的电位分别为?和
?2，那么
d?dr?rd?1?r??0??1?C1lnr?C2 ?d?d?ddr?r?2?r??0??2?C3lnr?C4 ?d?根据边界条件，得知
?1?a??e?C1lna?C2；?2?b??0?C3lnb?C4
C1lnc?C2?C3lnc?C4 ?d?1d?21dr??2r?cdr
r?c联立上式，求得
C1??e；
Clna2?e?e
lnca??1?lnblnc2ca??1?lnb2cCelnb3??；
C4?e?lnb2c???lnclnb?2ce
1ac??ln1a代入上式，得
?1??lnre?e?lnalnc?1be
a??lnblnc?12ca??ln2c?lnrlnb2??lnb?2ce?b?2ce
c??ln1alnc??ln1a 14
J1?J2??1E1??1?2ecb????2ln??1ln?rLac??er
(2) r = a表面上面电荷密度为
?sa??1E1n??1?2ecb????2ln??1ln?aLac??
r = b表面上面电荷密度为
?sb??2E2n??2?1ecb????2ln??1ln?bLac??
r = c表面上面电荷密度为
????1?2??2?1?e?1???sc??????E? 12??1ncb???2????2ln??1ln?cL?ac?4-5 已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。 试求r?a与r?b两个表面之间的电阻。
解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为
???2Y d 0 (r,?r ) ? a b 习题图4-5
X
1d?d???r??0 rdr?dr?该方程的解为 令
??r??C1lnr?C2
??a??V0, ??b??0,
5
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