信号与系统第二版课后答案燕庆明(5)

?Aπ[?(???0)??(???0)] j?（2）因为

Asin(?0t)?jAπ[?(???0)??(???0)]

?(t)?π?(?)?1j?

由频域卷积定理

F(?)?1?2π??jAπ[?(???0)??(???1?0)]?[π?(?)?j?]??jAπ?A?2[?(???0)??(???0)]?0?2??2 0

3-10 设有信号

f1( t ) = cos4?t

1,t?? f2( t ) =

0,t??

试求f1( t ) f2( t )的频谱函数。

解 设f1( t ) ? F1(?)，由调制定理

ft)cos4πt?11(2[F1(??4π)?F1(??4π)]?F(?)

而

F1(?)??Sa(??2)?2Sa(?)

故

F(?)?Sa(??4π)?Sa(??4π)

3-11 设有如下信号f( t )，分别求其频谱函数。 (1) f(t)?e?(3?j4)t??(t) (2) f(t)??(t)??(t?2)

解 (1) 因 e??t?1??j?

故

e?(3?j4)t?1(3?j4)?j??13?j(4??)

20

(2) 因 ?(t)??(t?2)?Gτ(t)?(t?1),??2

故

F(?)??Sa(???j?2)e?2Sa(?)e?j?

3-12 设信号

2,0?t?4

f1( t ) =

0,其他

试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。

解 因

F(?)?2?Sa(???j2?2)e?8Sa(2?)e?j2?

故

F?)?12(2[F1(??50)?F1(??50)]

?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)

幅度频谱见图p3-12。 | F2(?) |

50

50

图p3-12

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第4章习题解析

4-1 如题4-1图示RC系统，输入为方波u1( t )，试用卷积定理求响应u2( t )。

题4-1图

解 因为RC电路的频率响应为

H(j?)?1 j??1而响应

u2( t ) = u1( t ) * h( t )

故由卷积定理，得

U2(? ) = U1(? ) * H( j? )

而已知U1(?)?1(1?e?j?)，故 j?U2(?)?11?(1?e?j?) j??1j?反变换得

u2(t)?(1?e?t)?(t)?[1?e?(t?1)]?(t?1)

4-2 一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。

题4-2图

22

解 因为输入f( t )为周期冲激信号，故

1Fn??1,T所以f( t )的频谱

??1?2π?2π T?F(?)?2π?Fn?(??n?1)?2πn??(??2nπ)

当n = 0，?1，?2时，对应H( j? )才有输出，故n???

???Y(? ) = F(? ) H( j? )

= 2?[2?(?) + ?(? ? 2?) + ?(? + 2?)]

反变换得

y( t ) = 2( 1 + cos2?t )

4-3 设系统的频率特性为

H(j?)?2j??2 试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。

解 冲激响应，故

h(t)?F?1[H(j?)]?2e?2t??(t)

而阶跃响应频域函数应为

S(?)?F[?(t)]?H(j?)?[π?(?)?1j?]?2j??2 ?π?(?)?1j??2j??2 ?π?(?)?1j??1j??2

所以阶跃响应

s(t)?(1?e?2t)??(t)

4-4 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( j? )。

题4-4图

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解 由图可知输出

ty(t)??[f(t)?f(t?t0)]dt

0取上式的傅氏变换，得

Y(?)?F(?)(1?e?j?t0) j?故频率特性

H(j?)?Y(?)1?(1?e?j?t0) F(?)j?

4-5 设信号f( t )为包含0 ~ ?m分量的频带有限信号，试确定f( 3t )的奈奎斯特采样频率。

解 由尺度特性，有

f(3t)?1?F() 33即f( 3t )的带宽比f( t )增加了3倍，即?? = 3?m。从而最低的抽样频率?s = 6?m 。故采样周期和采样频率分别为

TS?1 6fmfS?6fm

4-6 若电视信号占有的频带为0 ~ 6MHz，电视台每秒发送25幅图像，每幅图像又分为625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？

解 设采样点数为x，则最低采样频率应为

2fm?25?625?x

所以

2fm2?6?106x???768

25?62525?625

4-7 设f( t )为调制信号，其频谱F( ? )如题图4-7所示，cos?0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x( t )可表示为

x( t ) = A[ 1 + m f( t )] cos?0t

式中，m为调制系数。试求x( t )的频谱，并大致画出其图形。

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