信号与系统第二版课后答案燕庆明(3)

故对本题，有

?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) = ( t + 3 ? 5 )?( t + 3 ? 5 ) = ( t ? 2 )?( t ? 2 )

两种方法结果一致。

(b) 由?( t )的特点，故

?( t ) * 2 = 2

(c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )

2-10 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。

题2-10图

解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即

f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )

故

f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]

因为

?( t ) * ?( t ) =

?t01d?= t?( t )

故有

10

f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )

读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。

(b)根据? ( t )的特点，则

f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]

= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。

图p2-10

2-11 试求下列卷积。 (a) (1?e?2t)?(t)???(t)??(t)

(b) e?3t?(t)?ddt[e?t?(t)]

解 (a)因为??(t)??(t)???(t)??(t)，故

(1?e?2t)?(t)???(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)

(b)因为e?t?(t)??(t)，故

e?3t?(t)?ddt[e?t?(t)]?e?3t?(t)???(t) ??(t)?3e?3t

2-12 设有二阶系统方程

y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4??(t)

试求零状态响应

解 因系统的特征方程为

?2 + 3? + 2 =0

解得特征根

?1 = ?1， ?2 = ?2

11

故特征函数

x2(t)?e?1t?e?2t?(e?t?e?2t)?(t)

零状态响应

y(t)?4??(t)?x2(t)?4??(t)?(e?t?e?2t)?(t)

= (8e?2t?4e?t)?(t)

2-13 如图系统，已知

h1(t)??(t?1),h2(t)??(t)

试求系统的冲激响应h( t )。

题2-13图

解 由图关系，有

x(t)?f(t)?f(t)?h1(t)??(t)??(t)??(t?1)??(t)??(t?1)

所以冲激响应

h(t)?y(t)?x(t)?h2(t)?[?(t)??(t?1)]??(t)??(t)??(t?1)

即该系统输出一个方波。

2-14 如图系统，已知R1 = R2 =1?，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。

题2-14图

解 由KCL和KVL，可得电路方程为

12

???(CuCR1R2C1R1??(?2)uC???(t)?2?(t) ?)uCR1LLR1LR1R1L代入数据得

???2uC??2uC???(t)??(t) uC特征根

?1,2 = ?1 ? j1

故冲激响应uC( t )为

uC(t)?(eλ1t?eλ1t)*[??(t)??(t)]

?e?t(cots?sint)??(t)?e?tsint??(t)

?e?tcost??(t)V

2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = ?( t )时，全响应y1( t ) = 3e?3t??( t )；当输入f( t ) = ??( t )时，全响应y2( t ) = e?3t??( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。

解 因为零状态响应

?( t ) ? s( t )，??( t ) ? ?s( t )

故有

y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e?3t??( t ) y2( t ) = yzi( t ) ? s( t ) = e?3t??( t )

从而有

y1( t ) ? y2( t ) = 2s( t ) = 2e?3t??( t )

即

s( t ) = e?3t??( t )

故冲激响应

h( t ) = s? ( t ) = ?( t ) ? 3e?3t??( t )

2-16 若系统的零状态响应

y( t ) = f( t ) * h( t )

试证明： (1) f(t)?h(t)?df(t)t??h(?)d? ??dt(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应

s(t)??h(?)d?

??t证 （1）因为

13

y( t ) = f( t ) ? h( t )

由微分性质，有

y? ( t ) = f? ( t ) ? h( t )

再由积分性质，有

ty(t)?f?(t)??h(?)d?

（2）因为

由（1）的结果，得

??s( t ) = ?( t ) ? h( t )

s(t)???(t)??t??h(?)d?

??(t)??t??h(?)d?

??t??h(?)d?

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