模煳数学+变分法+Matlab基础教程(5)

上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.

设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即X=｛x1(方案Ⅰ), x2 (方案Ⅱ), x3(方案Ⅲ), x4(方案Ⅳ), x5(方案Ⅴ), x6(方案Ⅵ)｝.

经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1

方案 评价项目 C1:生产集中程度高 C2:采煤机械化程度高 C3:采区生产系统完善 x1 x2 x3 x4 x5 x6 较低 高 一级 较低 高 高 较高 较低 一般 较高 较高 较高 较低 较低 一般 很高 高 很高 高 一般 较高 很高 高 一般 一般 较高 高 较高 高 很低 C4:安全生产可靠度高 C5:煤炭损失率低 C6:mf巷道掘进费用(万元) 59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60 将表

1

中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集

Ci?F(X),(i?1,2,3,4,5)的隶属度转化的对应关系如下：

对C1, C2, C3, C4而言，对应关系为： 很 低 0.0

对 C5而言，对应关系为 很 低 1.0

将表1中的巷道掘进费用目标函数f用公式

maxf?f(x)maxf?minf较 低 0.2 一 般 0.4 较 高 0.6 高 0.8 很 高 1.0 较 低 0.8 一 般 0.6 较 高 0.4 高 0.2 很 高 0.0 mf(xi)?

计算出，因此得表2

其值语言与隶属函数转换表2

方案 CImf x1 x2 x3 x4 x5 x6 C1 C2 C3 0.2 0.8 0.4 0.2 0.2 0.44 0.8 0.6 0.2 0.4 0.4 0.22 0.4 0.6 0.2 0.2 0.6 0 1.0 0.8 1.0 0.8 0.6 1 0.6 1.0 0.8 0.4 0.6 0.78 0.6 0.8 0.6 0.8 1.0 0.34 C4 C5 mf

计算模糊判决集D为

D?mf?C1?C2?C3?C4?C5 (按列求最小) ?0.2/x1?0.2/x2?0/x3?0.6/x4?0.4/x5?0.34/x6 由maxD(xi)?0.6?D(x4)

xi?X根据最大求属度原则，方案四最优

例3 在某种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为x克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为

?x(1?x/10)e,?2f(x)???0,?0?x?100,

x?100. 对于使爱好函数值越大的x值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对x值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即x的约束条件为一模糊集A，其隶属函数为

?1, 0?x?1.??A(x)??

1?, x?1.2?1?(x?1)?试确定合理的剂量x?，使得在接受约束的条件下，获得最优收益. 解 这是一个规划问题，分三步进行.

（1） 求无条件模糊优越集Mf?(x)?12e(1?x/10)f，由于

?x20e(1?x/10)，

令f?(x)?0，得x?10.又当x?10时，f?(x)?0，x?10时，

f?(x)?0，因而supf(x)?f(10)?5，inff(x)?f(0)?0.因此

?x(1?x/10)e, 0?x?10?10Mf(x)??

?0 , x?100?（2） 求条件模糊优越集Af

?x(1?x/100?e, 0?x?x,?10?1??Af(x)?A(x)?Mf(x)??, x?x?100 2?1?(x?1)? 0 , x?100??其中x?满足方程

x10e(1?x/10)?11?(x?1)2

（3） 选择x，使

Af(x)???11?(x?1)?2?0.4593，

即A对目标f的可能度为45.93%，而要实现这种可能性，应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.

0?1A(x)Mf(x)Af(x)1x?X

需要说明的是，在本例中如果将约束条件确切化，以A的核[0,1]为约束，这是一个普通规划问题，所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看，已是100%遵守，但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的，由Mf(1)?0.246，说明相对整个目标来说，其优越程度仅达24.6%.如果把条件放松为模糊约束条件A，且适当降低A(x)的水平，却可以获得较好的目标值.如例中的结果，当x??2.085时，从接受约束条件来看虽仅达45.9%，但目标函数的优越程度也升到了45.9%，从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中，约束条件往往不是绝对的，有一定的伸缩性，模糊规划的思想就是利用这点灵活性，兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.

例4 植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度?与产量V的关系如下：

V?f(?)?106?,(??1000)

V表示每公顷土地产出木材的体积.这里?表示每公顷土地上种植的棵数，

现有一片杉树森林，其密度不均匀，估计?“大约是三千”.试估计该森林每公顷木材最高产量.

解 设C表示“大约是三千”这一模糊，C的隶属函数为

C(x)?e?(??3000)10000002, (??R)

估计木材产量的问题，就是求在C的约束下函数f的模糊条件极大值.为此先求有界函数f的无条件模糊优越集.因supf(?)?500，inf??1000??1000f(?)?0，所

以

Mf(?)?f(?)?0500?0?1500f(?)?103?

f在约束条件C下的条件模糊优越集为：

C?C?Mf,Cf(?)?C(?)?Mf(?)

f条件模糊极值为f(Cf)，其隶属函数为：

f(Cf)(y)???1[C(?)?Mf(?)]

??f(y)为求条件最佳决策??，即满足条件

??Cf(?)?maxCf(?)的?

??1000注意到Mf的隶属函数曲线是单调降的，而C是正态分布模糊集，f在约

束C下的模糊最佳决策（即模糊条件极大点），是方程

103??e?(??3000)100002

的两个根当中的较小者，解之得???2130.

由Cf(2130)?0.469?46.9%可知，???2130时，接受约束的程度为46.9%，同时，相对于整体目标函数，优越程度也是46.9%.

由f(2130)?334.74(米3)可知，该森林每公顷木材最高产量估计为

334.74(米).

3

§3-2 模糊线性规划

一、普通线性规划

普通线性规划的一般形式为 目标函数max Z?c1x1?c2x2??cnxn

?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?a22x2??a2nxn?b2?211?约束条件 ???

?ax?ax??ax?bm11m22mnnm???xj?0(j?1,2,?,n)矩阵表达形式

maxZ?CX?AX?b??x?0

其中

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