模煳数学+变分法+Matlab基础教程(4)

表 2-5 类型 N 判别 A1 A2 A3 A4 A5 max 识别对象 结果 A1 A2 效果 正确 正确 正确 正确 正确 B1 B2 0.92 0.65 0.50 0.50 0.50 0.72 0.99 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.99 0.61 0.50 0.50 0.50 0.60 0.99 0.62 0.50 0.50 0.50 0.65 0.89 0.92 0.99 0.99 0.99 0.89 B3 B4 A3 A4 B5 A5

按(A?B)???1?(A(x)?B(x)x?X?及(A⊙B)c?Ac?Bc

cNg(Aij,Bj)?12?(aij?aj[1?e?ij??)2j] （3-2

6）

（这里aj与?j是Bj的均值与方差）。

现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率100%。

例8 雷达识别

现有n个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，假设共有j个特征，第i类雷达的第j个特征可以取nij个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第i类(i?1~n)雷达的k个特征为

Ai1,Ai2?,Aik,i类雷达的第j个特征(j?1~k)取值为Aij(m?1,2,?nij)，其隶属函数为

m中间型柯西分布，即

A(u)?[1?(miju?aijm?ijm)]

2?1设X为待识别对象，它的k个特征为X1,X2,?Xk,X的第j个特征Xj的隶属函数也取中间型柯西分布：

Xj(u)?[1?(u?xj)] (j?1,2,?,k)

2?1?j采用格贴近度，令

dij?(Aij,Xj)dij?max?dmijmm|m?1~nij?

则dij为识别对象X的第j个特征与i类雷达第j个特征贴近程度的度量。 一般情况可令

kdi??aj?1jdij

（di是各dij的加权平均值，权系数aj表示j个特征的重要性程度）di可作为识别对象X与第i类雷达总贴近的度量。根据di的大小可判定X属于何类雷达，但是，由于权系数aj的确定有一定的模糊性，Aij及Xj的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴近度dij有一定的模糊性。因此对aj及dij进行模糊化处理，设

Aj?(aj;cj,cj)L?R Dij?(dij;wij,wij)L?R

mm这里Aj，Dij都是L?R模糊数（见第五章），取L?R。

cj?aj?(1?aj),wij?dij?(1?dij)令

mDi??ADij?1

ijDi的隶属函数为

mDi(di)?supkj?1?[Aj(uj)?Dij(uij)]

di??ajdijj?1则Di为识别对象X与第i类雷达的贴近程度的模糊测度。

为得到X所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值?，令

di?sup?di|di?(Di)??di?inf?di|di?(Di)??

若 di?max?di:1?i?n?且i0唯一，则判定X为i0类雷达；

0若 di?di?max?di:1?i?n?且di?di，则判定X为i1类雷达。

1212用上述方法（将权系数及贴近度模糊化），经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。

第三章 模糊规划

§3-1 模糊极值

一、有界函数的模糊极值

设 f:X?R （R为实数集）

x?y?f(x)

是有界函数，求函数f(x)的普通极值问题是求x?使

f(x)?max??f(x)x?X?

满足上式的x?为f(x)在X上的最大值点，f(x?)为最大值，最大值点不一定唯一.

设f(x)的一切最大值点的集合为

M?xf???f(x)?maxf(x),x?X

?称Mf为f(x)的优越集.当x?Mf时，函数在x处取到最大值f(x)，x使f(x)达到最优.当x?Mf时，f(x)虽不是最大值，但对不同的x，f(x)与最大值的差异有所不同,也就是说，对于不属于Mf的x，它们的“优越性”程度

模糊化，并

有所不同，为了反映X中各点不同的优越程度，将优越集M利用它将极值模糊化.

定义1设f:X?R是有界函数，定义Mff的隶属函数为

Mf(x)?f(x)?min?f(x)x?X?max?f(x)x?X??min?f(x)x?X? (?x?X)

称Mf为f的无条件模糊优越集称f(Mf)的f的无条件模糊极大值.这里f(Mf)?F(R)，它的求属函数按扩张原理为

f(Mf)(y)???Mf(x)f(x)?y? (约定???0)

注 (1)当x?x1为f(x)的极大点，即f(x1)?max?f(x)x?X?时Mf(x1)?1，

当x?x2为f(x)的极小点，即f(x2)?min?f(x)x?X?时

Mf(x2)?0,f(x1)?f(x2)充分必要条件是

Mf(x1)?Mf(x2)

??x1x2?X?

(2)当y1?max?f(x)x?X?时，f(Mf)(y1)???Mf(x)f(x)?y1?

当y2?min?f(x)x?X?时，f(Mf)(y2)???Mf(x)f(x)?y2? 当y?f(X)?R时，

f(Mf)(y)???Mf(x)f(x)?yy?f(x)?????0

因此,f(Mf)(y)反映了在模糊意义下,y对f的模糊数大值的求属程度.

例1

设X??x1,x2,x3,x4,x5?，

f:X?R,

定义f(x1)?0, f(x2)?3, f(x3)??1f(x4)?1, f(x5)?1,则

maxf(x)?3 minf(x)??1, 并且Mf(x)?(f(xi)?1)4(i?1,2,3,4,5)

于是Mf?(0.25,0,1,0.5,0.5)

又 f(Mf)(0)???Mf(x)f(x)?0??Mf(x1)?0.25 f(Mf)(3)?Mf(x2)?1

f(Mf)(?1)?Mf(x3)?0

f(Mf)(1)???Mf(x)f(x)?1??Mf(x4)?Mf(x5)?0.5

故 f(Mf)?0.25/0?1/?1?1/3?0.5/1

f的无条件模糊极小集mf定义为?f的无条件极大集，显然有

max?f(x)x?X??f(x)max?f(x)x?X??min?f(x)x?X? mf(x)? (?x?X)

且有，mf(x)?1?Mf(x),所有极小集mf是极大集M二、模糊约束下有界函数的模糊极值

f的余集.

设：f:X?R是有界函数，C?F(X)，考虑f在C约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：

定义2 设目标函数f:X?R是有界函数，C?F(X)是模糊约束，令

D?C?Mf

这里的Mf是定义1中f的无条件模糊优越集，称D为f在C约束下

的条件模糊优越集，称f(D)为f在C约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为：

Mf(x)?f(x)?min?f(x)x?X?max?f(x)x?X??min?f(x)x?X?D(x)?C(x)?Mf(x)

f(D)(y)???D(x)?(C(x)?Mf(x))f(x)?y?

求解目标函数f(x)在模糊约束C下的条件极大值有如下三个步骤： (1)求无条件模糊优越集Mf

(2)求条件模糊优越集D?C?Mf (3)求条件最佳决策，即选择x?,使

D(x)?max?D(x)x?X?

???x就是所求的条件极大点，f(x)就是在模糊约束C下的条件极大值.

例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：

(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高； (3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好； (5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.

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