2017年普通高等学校招生全国统一考试3卷数学模拟试题(4)

d= 2 ，q= 2 ．

【分析】在已知等式中分别取n=1、2、3、4，得到关于a1，b1，d，q的方程组，求解得答案． 【解答】解：由

b1+1=2a1，b1+b1q+1=2a1+d，

，

联立以上各式解得：d=q=2． 故答案为：2，2．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，考查计算求解能力，是中档题．

三．解答题（共6小题）

17．（2017?清新区校级一模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．

（1）若△ABC面积S△ABC=

，c=2，A=60°，求a、b的值；

．

，得

（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

【分析】（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；

（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形． 【解答】解：（1）∵∴

，得b=1，

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3， 所以

．

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（2）由余弦定理得：所以∠C=90°； 在Rt△ABC中，

，所以

，∴a+b=c，

222

，

所以△ABC是等腰直角三角形．

【点评】此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

18．（2011?香坊区校级一模）已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表 学生的编号i 数学xi 物理yi 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62 1 2 3 4 5 （1）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？

（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；

（3）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”．

参考数据和公式：，其中，；

，

残差和公式为：．

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【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是A55，满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C55，根据等可能事件的概率得到结果．

（2）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

（3）做出残差平方差，得到结果是0，根据所给的残差平方和的范围，得到所求的线性回归方程是一个优拟方程．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是A55，

满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C52， ∴恰有两个人是自己的实际分的概率是（2）=70，=66， b=a=40.8，

∴回归直线方程为y=0.36x+40.8． （3）∵残差和公式为：∵0∈（﹣0.1，0.1）， ∴回归方程为优拟方程．

【点评】本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查新定义问题，是一个基础题，注意题目的数字运算不要出错．

19．（2017?甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°． （Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

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=

=0.36，

=0，

【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．

（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．

【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD， ∵BC=CD=AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB?平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．

（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD．

不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），

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∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），

，可得：

．

设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ， 则sinθ=

=

=

=．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（2017?湖南二模）已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的

一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|?|PB|，并求λ的值． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，

利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=圆幂定理求出λ的值， 从而证明命题成立．

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y，把椭圆E变为圆E′，利用

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