数学史教案（朱家生）

教 案

课 程 名 称 ： 数学史 课 程 代 码 ： 授课专业班级 ： 10数本（1）（2）（3）（4） 授 课 教 师 ： 系 别 ：

2012 年 9 月 1 日

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绪论

一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求：

1.了解数学史研究对象； 2.理解学习数学史的意义。 三、教学的重点和难点：

数学史研究对象和学习数学史的意义的介绍 四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新课、小结 六、教学内容：

数学是人类文明的一个重要组成部分。与其他文化一样，数学科学也是几千年来人类智慧的结晶。（数学是人类文明的一个重要组成部分？）（1）从远古时期的结绳记事、屈指记数到借助于现代电子计算机进行计算、证明与科学管理，从利用勾股测量等具体的操作到抽象的公理化体系的产生，……所有这些，都构成了科学史上最富有理性魅力的题材。（1）

随着时代的进步，数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域，科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识。（数学科学的思想、方法与内容已经渗透到人类生活的各个领域？科学技术包括社会科学的数学化已成为一种共识？）人类的现实生活需要数学、国家的发展、科学技术的进步更离不开数学。（20世纪中叶，美、苏两国在检讨本国科技落后时，寻找到的最终根源都是“数学问题”没处理好）因此，具备一些必需的数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分。（为什么说具备必需的数学知识和一定的数学思想方法，是现代人才基本素质的非常重要的组成部分？）（1）

与其他学科相比，数学是一门积累性很强的学科，他的许多重大理论都是在继承和发展原有理论的基础上发展起来的。（天文学——地心学说；物理学——燃素说，等等都被推翻了。）如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正理解数学的真谛，正确把握数学科学发展的方向。（许多有成就的数学家都关注数学发展史。如我国的华罗庚、苏步青、吴文俊、张奠宙、法国的庞加莱等大数学家都非常关注数学史的发展）。法国著名数学家庞加莱说过：“如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。”（ “如果我们要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。” 谁的名言？）

数学史主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。（数学史主要研究什么？）它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。（1）

数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。（如果人类文明史去掉数学史，那么人类文明史将会变成……？）（1）

研究与学习数学史，可以弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，

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同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质，帮助我们掌握数学的思想、方法、理论和概念，认识数学科学与人类社会的互动关系以及研究数学思想的传播与交流史，了解数学家的生平等。（为什么要学数学史？）（1）

具体而言，学习数学史至少具有以下一些重要意义：首先，每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性。（今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化和发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此，我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。）数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性。（2）

科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，预见科学未来，使我们在明确科学研究的方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据。（2）

我国著名数学史家李文林先生曾经说过：“不了解数学史就不可能全面了解数学科学。”（2）

美国数学史家M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更重要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。（2）

例如，古希腊（公元前600年——公元前300年）的数学家们强调严密的推理和由此得出的结论，他们不关心这些成果的实用性，而是要人们去进行抽象的推理，从而激发对理想与美的追求。通过对希腊数学史的考察，就容易理解为什么古希腊会具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学以及理想化的建筑与雕塑了。

再者，当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合乎逻辑。或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。（3）

通过对数学史的学习和研究，既可以使数学类专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；也可使文科或其他专业的学生了解数学概貌，获得数理方面的修养。此外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。（3）

思考题：

1、简述数学史研究的对象是什么？ 2、简述数学史与数学教育的关系。

3、简述文科与理科学生学习数学史的必要性。

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第一章 源自河谷的古老文明——数学的萌芽

一、教学时间安排：3学时 二、教学目的、要求：

1、了解数学的起源与世界古老文明产生的关系； 2、探讨古埃及和古巴比伦人古老的数学知识在我们的生活中哪些还具有现实意义。

三、教学的重点和难点：

数学的起源与世界古老文明产生的关系及古埃及和古巴比伦人古老的数学的介绍。

四、教学方法和教学手段：讲授法、多媒体辅助 五、教学过程设计：导入、新授课、小结 六、教学内容。

数学，作为人类文明的重要组成部分，有着非常悠久的历史。 据文字记载，至少在5000年以前，人类就已有了数学活动。

数学是人类文明的一部分，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度。但就国外数学发展的源头而言，客观地讲，一般还应首推古埃及与古巴比伦。（4）

1.1 古埃及的数学

我们知道，非洲的尼罗河是世界上最长的河流之一。早在公元前3000年左右，在这条河的中下游，古埃及人建立起了早期的奴隶制国家，其地理位置与现在的埃及区别不大。打猎、渔业及畜牧业是古埃及人最初的谋生方式。一年一度的尼罗河的洪水给这片谷地带来的肥沃的淤泥，那些以游牧为生的古埃及人便在这里定居下来，由狩猎转向耕种。在发展农业的同时，手工业与贸易也随之迅速发展起来，这些都推动了自然科学各学科知识的积累。（4）

提到古埃及，大家就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附近的吉萨省的胡夫金字塔——法老胡夫的陵墓——是埃及最大的金字塔，大约建于公元前2500年左右。该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个方向，边长230.5m，塔高146.6m（现高约137m）。近年来，科学家们通过

古埃及人在建造神奇的金字塔、狮身人面像以及神庙的同时，也建立了相当发达的数学。

从公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字。（流传至今的古埃及文献，大部分是以僧侣文（又称祭司文）书写在纸草上保存下来的，人们通常称其为纸草书）。（6）

保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国伦敦大不列颠博物馆东方展室中的兰德纸草书，这是由英国人兰德1858年搜集到的；另一种收藏于俄国莫斯科美术博物馆，被称为莫斯科纸草书，这是由俄罗斯人郭列尼舍夫于1893年搜集到的。这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集。人们对古埃及人数学的了解主要来自这些纸草书以及其他保留至今的历史文献。（6）

1.1.1 古埃及的记数制与算术

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古埃及人使用的是十进制记数制，并且有数字的专门符号。当在一个数中出现某个数码的若干倍时，就将它的符号重复写若干次，即遵守加法的法则，这说明，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。古埃及人已有了分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份，只有2/3是一个例外。（6）

古埃及人的乘法运算与除法运算是通过叠加来进行的。（7） 1.1.2 古埃及的代数

古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次甚至更高次的方程。（7）

在古埃及纸草书中还有有关数列问题的记载。（8） 等比数列也已在古埃及纸草书中出现。 1.1.3古埃及的几何学

古埃及的几何学是尼罗河的赠礼。

尼罗河水泛滥后冲刷去了许多边界标记，洪水退后也需要重新勘测土地的界线，这一切，为他们认识基本几何形状和形成几何概念提供了实际背景。

在两种纸草书的110个问题中，有26个是几何问题，其中大部分是计算土地的面积与谷物的体积，还有许多与金字塔有关。（8）

古埃及人认为圆的面积等于直径的8/9的平方。由此可知，古埃及人把圆周率近似地取为3.16。（8）

著名数学史家贝尔形象地将古埃及的正四棱台的体积公式称为“最伟大的埃及金字塔”。（9）（古埃及人是通过具体问题说明了高为h、底边长为a和b的正四棱台的体积公式是：略

1.2古巴比伦的数学

古巴比伦，又称美索波达米亚（错误），位于亚洲西部的幼发拉底河与底格里斯河两河流域，大体上相当于今天的伊拉克。大约是在公元前3000年左右，古巴比伦人在这里建立了自己的奴隶制国家。（9）

在过去相当长的一段时间内，人们对于古巴比伦数学的认识是通过古希腊文化中的零星资料得到的。（9）

19世纪后期，考古学家开始发掘美索波达米亚遗址，在发掘的过程中，人们发现了数以万计的不同时期的泥板，他们用胶泥制成的，一块完整的泥板与手掌的大小差不多，上面写有符号，这种符号是用断面呈三角形的尖棍刻写的，呈楔形，故人们称之为楔形文字。（10）（人们为什么把古巴比伦的文字称为楔形文字？）

1.2.1古巴比伦的记数制与算术

古巴比伦人很早就有了数的写法，其记数系统是60进制。（10） 古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作分母，因此古巴比伦人的分数系统是不成熟的。（10）

与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的，在已发现的泥版书中，大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。

倒数表用于把除法转化为乘法进行，指数表和插值法一起用来解决复利问题的。

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