南京市盐城市2012届高三第一次模拟考试数学试题(2)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.9.(?2,?1)(或闭区间) 10.[?32,?12)?(113,] 11.m?4 12.(??,2] 13.

e2212 5.120 6.?14 7.21 8.充分不必要

5?2 14.

(1,3)

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为

f(x)?32sin2x?12cos2x???????????????????????4分

?sin(2x??6) ????????????????????????????????

???6分

故f(x)的最小正周期为

???????????????????????????????8分

?(2)当x?[0,]4时,2x??6?[???6,3]?????????????????????????10分

故所求的值域为

[?12,32]??????????????????????????????14分

16．（1）证明:设AC?BD?O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以

PD∥EO????4分

而PD?面AEC,EO?面AEC,所以PD∥面

AEC???????????????????7分

(2)连接PO,因为PA?PC,所以AC?PO,又四边形ABCD是菱形,所以

AC?BD????10分

而PO?面PBD,BD?面PBD,PO?BD?O,所以AC?面PBD???????????13分 又AC?面AEC,所以面AEC?面

PBD???????????????????????14分

17．解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y?cosx?1,所以点D的坐标为??2分 (t,cost?1)所以点O到AD的距离为1?cost,而AB?DC?3?t,

则

h1(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?3294)????????????????

???4分

对于曲线C2,因为抛物线的方程为x2??(t,?49t)???2分

2y,即y??49x,所以点D的坐标为

2所以点Oh2(t)?492到

AD的距离为

49t2,而AB?DC?3?t,所以

t?t?3(1?t?32)?????7分

32 (2)因为h1?(t)??1?sint?0,所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t?1时,h1(t)取得最大值 为

3?cos1??????????????????????????????????

???9分 又h2(t)?5249(t?98)?23916,而1?t?32,所以当t?32时,h2(t)取得最大值为

????????11分

?3?12因为cos1?cos,所以3?cos1?3?3212?52,

52 故选用曲线C2,当t?时,点E到BC边的距离最大,最大值为分

????????18．解: (1)因为BP?DA,且A(3,0),所以BP?DA=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的

米???????????14分

横坐标为1,

从而得P(1,2),B(?1,2)???????????????????????3分 所以直线BD的方程为x?y?1?0????????????????5分 (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y?x?1, 所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r?又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d?2210???????????8分

2,所以直线BD被圆C截得的弦长

为2r?d?42 ???????????????????????10分

(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线y?x?1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN??????????????????????12分

设M(0,b),则N(2,4?b),根据N(2,4?b)在直线y?x?1上,

解得b?3???????????????????????????14分所以M(0,3),N(2,1),PM?PN?2,故存在这样的两个圆,且方程分别为

[来源:Zxxk.Com]

2222x?(y?3)?2,(x?2)?(y?1)?2???????????????16分

19．解: (1)函数f(x)?4x是“(a,b)型函数”?????????????2分 因为由f(a?x)?f(a?x)?b,得16a?b,所以存在这样的实数对,如a?1,b?16??????6分

(2) 由题意得,g(1?x)g(1?x)?4,所以当x?[1,2]时, g(x)?, 2?x?[0,1]而x?[0,1]时,g(x)?x2?m(1?x)?1?x2?mx?m?1?0,且其对称轴方程为

x?m24g(2?x),其中

,

m2?1,即m?2时,g(x)在[0,1]上的值域为[g(1),g(0)],即[2,m?1],则g(x)44① 当

?m?1?3?,2]?[,m?1],由题意得?4在[0,2]上的值域为[2,m?1]?[,此m?1m?1?1??m?1时无解?????????11分 ②当

12?m2?1,即1?m?2时,g(x)的值域为[g(m2),g(0)],即[m?1?m422,m?1],],则由题

所以则g(x)在[0,2] 上的值域为[m?1?m42,m?1]?[4m?1,4m?1?m424??m?3m?1??12??m??4意得?m?1?且?,解得1?m?2?????????13分

44???1m?1?3????m?1③ 当0?g(x)m2?12,即0?m?1时,g(x)的值域为[g(在

[0,2]m2),g(1)],即[m?1?m42,2],则

上

2的m42值

4m42域为

[m?1?m42,2]?[2,4m?1?m4]=[m?1?,],

m?1???m?1??则?4??m?1??m4m42?1?3,解得2?263?m?1.

2综上所述,所求m的取值范围是2?263?m?2???????????16分

20．解:(Ⅰ)因为a1?a?????an?pan??021a1?a2?????an?1?pan?0,两式相减,得

,所以n?2时,

an?1an?p?1p(n?2),故数列?an?从第二项

起是公比为 又

当

p?1p的等比数列??????????3分 时

,

a1?pa2?0n=1,解得

a2?ap,从而

a?(n?1)???????5分 an??ap?1n?2()(n?2)?pp?ap?1k?1ap?1kap?1k?1(2)①由(1)得ak?1?(),ak?2?(),ak?3?(),

pppppp[1]若ak?1为等差中项,则2ak?1?ak?2?ak?3,即

p??13p?1p?1或

p?1p??2,解得

????6分

k?1kk?1此时ak?1??3a(?2),ak?2??3a(?2),所以dk?|ak?1?ak?2|?9a?2???8

分

[2]若ak?2为等差中项,则2ak?2?ak?1?ak?3,即解???????9分

[3]若ak?3为等差中项,则2ak?3?ak?1?ak?2,即

p??23p?1p?1,此时无

p?1p?1或

p?1p??12,解得

, 时

9aak?1??3a2(?12)k?1此

,ak?3??3a2(?12)k?1,所以

dk?|ak?1?ak?3|?1k?1?()?????11分 82129a1k?1k?1?()???????12综上所述,p??, dk?9a?2或p??,dk?3382分

②[1]当p??当k?3时,

13k时,Sk?9a(2?1),则由Sk?30,得a?103(2?1)k,

103(2?1)k?1,所以必定有a?1,所以不存在这样的最大正整

数????????14分 [2]当p??23时,Sk?9a1k(1?()),则由Sk?30,得a?42403(1?())21k,因为

4013k3(1?())240即Sk?30, a?1k3(1?())2?40,所以a?13满足Sk?30恒成立；但当a?14时,存在k?5,使得

所以此时满足题意的最大正整数a?13????????????16分

数学附加题部分

21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因

0

为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=90?????5分

故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC， 故

PD2=PA·PC?????????????????????????????????10分

1??1??1?10??1B. 易得AB??经矩2???2???3分, 在直线l上任取一点P(x?,y?)，? ?????02?01???02?阵AB变换为

1?1?1?????y??x??yx??xx??x??1??????点Q(x,y)，则???，∴，即2??22???????y??y??y?2y??02??2y???1???xx???4??y??y??2y?????8分

代入x??y??2?0中得x?4x?y?8?14y?y2?2?0,∴直线l?的方程为

???????10分 0 得

??x?y, x??cos?, y??sin?2222C. 解：?C的方程化为??4cos??4sin?，两边同乘以?，得??4?cos?4??sin?由

22,

x?y?4x?4y?0????????????5分

其圆心C坐标为(2,2)，半径r?22,又直线l的普通方程为x?y?2?0, ∴圆心C到直线l的距离d?22222?1x22,∴弦长AB?28?2?26????10分 ?1y2D. 证明:由柯西不等式得(1?1?1)( 则

3?1x2?1z)?(21x?1y?1z)???????5分

2?1y2?1z2?1x?1y?1z,即

3111111?????????10分 (??)???2223xyzxyz????????????22. 解:(1)以AB, AD, AA1为正交基底建立空间直角坐标系A?xyz,设

[来源:Z&xx&k.Com]CP?a (0?a?2),

2则

,CQ?2?a, P(2,2?a,0), Q(2?2?a,2,0)?????D1P?(2,?a,?2),

?????????∵B1Q?D1P,∴B1Q?D1P?0，∴?22????2B1Q?(?2?a,2,?2),

?2a?a?2?2解得4，0a?1???????????4分

∴PC=1,CQ=1,即P、Q分别为BC, CD中点???????????5分

??????????(2)设平面C1PQ的法向量为n?(a,b,c)，∵PQ?(?1,1,0 ),PC?1???????????n?PQ?n?PC1?0，

,2又(0,1,)???a?b?0∴?，令c??1，则a?b?2,n?(2,2,?1)??????????b?2c?0?????????8分

???1∵k?(0,0,?2)为面APQ的一个法向量,∴cos?n,k??,而二面角为钝角,故余弦值

313为???10分

223.（1）解：当n?5时，含元素1的子集有C4?6个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,

于

(?1是

?C422所

?求元素之和

6为

?153??????????????????4?5?)5?分

2 （2）证明:不难得到1?mi?n?2, mi?Z，并且以1为最小元素的子集有Cn?1个，以222为最小元素的子集有Cn?2个，以3为最小元素的子集有Cn?3，?，以n?2为最小元素

的子集有C2个,

则Pn?m1?m2???mC?1?Cn?1?2Cn?2?3Cn?3???(n?2)C2?????8分

3n22222?(n?2)C2?(n?3)C3?(n?4)Cn???Cn?1?C2?(n?3)(C2?C3)?(n?4)C4???Cn?1

?C2?(n?3)(C3?C3)?(n?4)C4???Cn?1?C2?(n?3)C4?(n?4)C4???Cn?1

?C2?C4?(n?4)(C4?C4)???Cn?1?C2?C4?(n?4)C5???Cn?1

23322233243334232223222222222222?C4?C4?C5???Cn?Cn?1???????????????10分

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