新航道江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(7)

第二章 导数计算及应用

53．求内接于半径为R的半圆的矩形的最大面积。

54．已知三角形高h，底边长为l，求一边落于底边的内接矩形的最大面积。

55．把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小？

56．用面积为A的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶，问油桶直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？

57．已知A、B两地相距30公里，如下图所示。在它们之间铺设一条管道，由于地质条件不同，在y?0地区，铺设管道费用为105元/公里，在y?0地区，铺设管道费用为6?104元/公里。求最经济的铺设路线。 yA??15,5?oB?15,5? ooCODx o o o图示2.6 o58．在直角坐标系的第一象限内作4x2?y2?1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。 59．一商家销售某种商品价格p?7?0.2x，其中x为销售量（单位：kg），商品的成本是c?3x?1（百元） （1）若每销售1kg商品，政府要征税t（百元），求商家获得最大利润是的销售量？ （2）商家获得最大利润前提下，t为何值时，政府的税收总额最大？ 历年真考题 1、（2001）若f(x)?f(?x)，且在(0,??)内：f?(x)?0,f??(x)?0， 则f(x)在(??,0)内必有（ ） A. f?(x)?0,f??(x)?0 B. f?(x)?0,f??(x)?0 C. f?(x)?0,f??(x)?0 D. f?(x)?0,f??(x)?0 t?dy?x?te2、（2001）设参数方程为?；则

2dx??y?2t?t? 。

t?03、（2001）已知y?arctanx?ln(1?2)?cosx?5，求dy。

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4、（2001）已知y2?x?lnyx，求

dydxx?1y?1。

5、（2001）已知曲线y?f(x)经过原点，并且在原点的切线平行于直线2x?y?3?0，若

2f?(x)?3ax?b，且f(x)在x?1处取得极值，试确定a,b的值，并求出函数y?f(x)的

表达式。

?f(x)?6、（2001）设函数g(x)??x?a?x?0x?0，f(x)具有二阶连续导数，且f(0)?0，（1）求a，

使得g(x)在x?0连续；（2）求g?(0)。 7、（2002）已知f(x)是可导函数，则limf(h)?f(?h)hh?0?（ ） A.f?(x) B. f?(0) C. 2f?(0) D. 2f?(x) 8、（2002）若y?arctanex，则dy?（ ） 11?e2xA.dx B. ex2x1?edx C. 11?e2xdx D. ex2xdx 1?e9、（2002）已知f(x)在(??,??)内是可导函数，则(f(x)?f(?x))?一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数 10、（2002）设函数y?y(x)由方程ex?ey?sin(xy)确定，则y?x?0? 。 11、（2002）函数f(x)?xex的单调增加区间为 。 dydxt?12、（2002）已知??x?a(cost?tsint)?y?a(sint?tcost)，求。 ?41?x?13、（2002）设f(x)??(1?x),x?0，且f(x)在x?0点连续。 ?,x?0?k求（1）k的值；（2）f?(x)。 14、（2002）证明：当??2?x??2时，cosx?1?1?x成立。

140x（元），产品产量x与

2215、（2002）已知某厂生产x件产品的成本为C(x)?25000?200x?价格P之间的关系为：P(x)?440?

120x（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少

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第二章 导数计算及应用

件产品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。 16、（2003）已知f?(x0)?2，则limf(x0?h)?f?x0?h?hA. 2 B. 4 C. 0 D. －2

h?0?（ ）

17、（2003）y?ln(x?1?x2)，则下列说法正确的是（ ）

1x?11?x2A. dy?1?x2dx B. y??21?xdx C. dy?dx D. y??1x?1?x2 ?sinaxx?0?x,?18、（2003）已知函数f(x)??2,x?0为连续函数，则a,b满足（ ） ?1?ln(1?3x),x?0?bxA. a?2,b为任意实数 B. a?b?C. a?2,b??3212 D. a?b?1 19、（2003）y?y(x)由ln(x?y)?exy确定，则y?x?0? 。 20、（2003）函数y?x?3x?x?9的凹区间为 。 2?x?ln(1?t2)dydy21、（2003）已知?，求。 ,2dxdx?y?t?arctant3222、（2003）证明：xe?2在(0,1)内有且仅有一个实根。 23、（2003）设计一个容积为V立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？ 24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线y?x?e相切，则切点的坐标是 A．（1，1） B、（－1，1） C、（0，－1） D、（0，1） 25、（2004）设f(x)?x(x?1)(x?2?)(x?n，则)f?(0)?____。 26、（2004）设函数y＝y(x)由方程y?xe?1所确定，求

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yxxdydx22|x?0的值。

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27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城

在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？ 28、（2005）设x＝2是函数y?x?ln( A、－1 B、29、（2005）lime?ex?x12?ax)的可导极值点，则a＝（） 1212 C、??__ D、1 ?2xx?sinx30、（2005）对函数f(x)?lnx在闭区间[1,e]上应用Lagrange中值定理，求得的?＝____。 x?0?f(x)?2sinx,?31、（2005）设函数F(x)??x?a,,?x?0x?0在x＝0处连续，其中f(0)?0,f?(0)?6,求a。 2?x?costdydy32、（2005）设函数y?y(x)是由参数方程?所确定，求。 ,2y?sint?tcostdxdx?33、（2005）证明方程x3?3x?1?0在[-1,1]上有且仅有一个实根。 34、（2005）设函数的图形上有一拐点P（2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为－3，又知该函数的二阶导数y???6x?a,求此函数。

章节测试 nn?1?.....?an?1x?an，则?f(0)??? ，f1. f(x)?a0x?a1x(n)(0)? 。 2．y?x?3?3?x，则y??_____________。 3．y?cosx在点x?4. dlnxdx?_________3x3x?2 处的切线方程 。 。 13sin3x 的极值点，则a?______。 5．已知x?3?3是f(x)?asinx?26．y?x?3x?5的拐点是 。 7．曲线y?x33x?1 的渐近线是 ，

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第二章 导数计算及应用

y?2ln2x?12x?1 的水平渐近线是 。

8．设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f?(x)?0有（ ） A． 一个实根 B．两个实根 C．三个实根 D．无实根 9．y?(x?1)2在(??,??)上的极小值为（ ）

A．0 B．1 C． 2 D．不存在 10．函数y?e?x（ ） A．没有拐点 B．有一个拐点 C．有两个拐点 D．有三个拐点 11．函数y?4x?1(x?2)22（ ） A．只有水平渐进线 B．只有铅直渐近线 C．没有渐近线 D．有水平并有垂直渐近线 12．函数y?x?1?2的极小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．在区间[-1，1]上，下列函数不满足罗尔定理的是（ ） x2A．f(x)?e2?1 B．f(x)?ln(1?x) C．f(x)?23x D．f(x)?11?x2 14．f?(x0)?0,f??(x0)?0是函数f(x)在点x?x0处有极值的一个（ ） A．必要条件 B．充要条件 C．充分条件 D．无关条件 15．y?x?2在区间（0，4）内（ ） A．上凹 B．下凹 C．既有上凹又有下凹 D．直线段 16．下列条件中，对一切x?1均成立的是（ ） A．e?(e?1)x B．e?(e?1)x C．e?ex D．e?ex 17．设y?f(x)，若f?(x0)存在，且f?(x0)?a，则limf(x0?2?x)?f(x0)?xa2?（ ） xxxx?x?0 A．a B．2a Ｃ．?a Ｄ．18．下列函数在点ｘ＝０处连续且可导的是（ ）

Ａ．f(x)?3 x Ｂ．f(x)?1x?1

Ｃ．f(x）??

?2x?1，x?0?x?1, x?02 D．f(x)??- 57 -

?2x?3,x?0?x?1,x?02

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