新航道江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(6)

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F?(x)?ln?1?x??1?11?x2?0 ，所以F?x?严格单调上升，

F(x)?F(0)?0，即原命题得证。

例7. 证明:当x?2时,3x?x3?2

32证明:令f?x??3x?x，f??x??3?3x，

由f??x??0得，x??1， f??2???6?8?2，f?2??6?8??2,f?1??3?1?2,f??1???3?1?2； 所以，当x?2时，fmax?2,f即，3x?x2?2 成立。 ??2，即?2?fmin?x??3x?x3?2， 单元练习题2 1．y?xx,dy? 。 2．f?(x)?2,则limf(2?3h)?f(2?3h)hh?0= 。 3．设x2y?xy2?2y3?1，确定y?y(x)，则y?= 。 4．若y?f(x)在x0可导，且f(x0)为其极大值，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)）处的切线方程是 。 5．如果满足f(x)?f(0)?x??(x)，且lim6．函数y?xe?x?(x)xx?0?0，则f?(0)= 。 的极值点为 ，它的图形拐点为： 。 7．y?1?2x(x?1)2的渐进线为： ，垂直渐进线为： 。 8． 设y?f(x)二阶可导，且f?(x)?0,f??(x)?0,，又?y?f(x??x)?f(x)，?x?0，

dy?f?x?x，则?y与dy相差是 。

9． y?f(x)由ln(x?y)?e

xy确定，则y?|x?0? 。

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第二章 导数计算及应用

10．函数y?x3?3x2?x?9的凹区间为 。 11.f(?x)??f(x),且f?(?x0)?k,则f?(x0)? 。 12．

ddx(f(1x))?211,则f?()? 。 x2dydx13．函数f为可导函数，则y?sin{f[sinf(x)]}，则= 。 14．函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定，则曲线y?f(x)在点（0，1）处的切线方程为： 。 1?2xsin,x?0?15． 设f(x)??在x?0处可导，则 x?ax?b,x?0?（A）a?1,b?0 (B) a?0,b为任意实数 （C）b?0,a?0 （D）a?1,b为任意实数 16．设函数y?f(x)在x?a处可导，则函数y?f(x)的绝对值在x?a处不可导的充分条件是： （A）f?a??0,f??a??0 （B）f?a??0,f??a??0 （C） f?a??0,f??a??0 （D）f?a??0,f??a??0 17．f(x)?3x2?x2|x|,则使存在的最高阶导数n为: （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 18．y?ln(x?1?x2),则下列正确的是： 1x?1?x2 （A） dy? （B）dy?11?x2dx （C） y'?21?xdx （D） y'?1x?1?x2 19．曲线y?6x?24x?x的凸区间为： （A）??2,2? （B）???,0? （C） ?0,??? （D）???,???

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20．函数y?sinx在区间?0,??上满足罗尔定理的??（ ） （A）0 （B）

?4 （C）

f?2 （D）?

f?x?x?（ ）

21．设f?0??0，且极限lim?x?xx?0存在，则limx?0（A） f?(x) (B) f??0? (C ) f?0? (D) 12f??0? 22. 设y?f(x)可导，则f(x?2h)?f（x）? （A） f?(x)h?o(h) (B) ?2f??x?h?o?h? (C) ?f??x?h?o?h? (D) 2f??x?h?o?h? 23 若直线L与OX轴平行，且与曲线y?x?ex相切，则切点坐标为：（ ） 1 (B) ??1,1? （A） ?1,? (C) ?0,?1? (D) ?0,1? 24.设f(x)?e3xsin(3x)，则下列式中正确的是（） 13 （A） f??0??3 (B) f??0??25.设y?arctan26.y?esin(x27.y?xsinx2 (C) f??0??1 (D) f??0?不存在 x?1x?1,求y?. ?1),求dy ,求y? yx28.设y?y(x)由x?y确定,求dy 29.y?x?1x?1,求y???0?

230.设f(x)已知二阶可导函数,求y?f(x)的二阶导数. 31.f(lnx?1)?e?3x,求

xdf(x)dx.

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第二章 导数计算及应用

t2?dy?x?esint32.?,求 2tdx??y?ecostt??x?te33.设曲线x?x(t),y?y(t),由方程组?确定，求该曲线在t?1时的斜率k。

ty??e?e?2e34.y?x21?x,求y??. nn35.y?x3lnx,求y??. 36.y?(1?x2)cosx,求y??. n?x,x?01?37.f(x)??,求f??x? . 1?ex??0, x?01?(x?2)arctan,x?2?38.f(x)??，求f??x?. x?2?0, x?2? 39.y?|?x?1?22?x?1?|,求y?. ，求y?. 340.y?2x?2x?31?2?xsin,x?041.f(x)??,（1）求f??x?, （2）求f??x?在x?0处是否连续. x?x2, x?0?dydy,42.方程lny??0确定y?y(x),求 2dxdxyx2?2?x2,|x|?243.设f(x)??，求f??x?。 ?2, |x|?2?g(x)?e?x,x?0?44.f(x)??，其中g(x)具有二阶连续导数，且g(0)?1,g??0???1, x?0, x?0?求（1）f??x?；（2）讨论f??x?的连续性。

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2323245.证明曲线x?y?a3，?a?0?的切线介于坐标轴之间的长度为一常数. 46.已知arctanyx?lnx?y,求

22dydx.

?g(x)?cosx,x?0?47.已知f(x)??,其中g?x?有二阶连续导数,且g(0)?1. x?a,x?0?（1）确定a值，使f(x)在x?0处连续；（2）求f??x?。 ?f(x),x?0?48．设f(x)有二阶连续导数，且f(0)?0，g(x)??x。 ?f?(0)?0,x?0?证明：g(x)有一阶连续导数。 49．求下列极限 )xx?xsinxx（1）lim （2）lim?x （3）lim x???arccotxx?11?x?lnxx?0x1?x1lnxx1?xln(1?1（4）lim(x?1?) （5）limx(e?1)?2(e?1)xsinx2xxx?0 （6）limx?02 tanx?sinx(1?cosx)x50．证明下列不等式 （1）当x?0时，?ln(1?x)?x 2332（2）当b?a?0时，3a(b?a)?b?a?3b(b?a) （3）当x?0时，1?xln(x?1?x2)?（4）当x?1时，2x?3?（5）当??2?x?1x1?x2 1x 12p?12?2时，cosx?1??（6）设0?x?1，p?1，证明不等式51．分析函数y?ex?xp?(1?x)p?1

x3的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。

52．分析函数y?x(1?x)的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。

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