新航道江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(5)

第二章 导数计算及应用

??340x?240x?25000，

6402Q?(x)??， x?240?0 得：x?1600（件）

唯一驻点，即为所求，Qmax?127000（元）。

例2.60．一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部 租出；当租金每月每套增加10元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每 月需要花20元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？ 解：设每月每套租金定为(20?01x0则)租出设备总数为40x，每月的毛收入为(20?01x0；维护成本为(40?x)?20，于是利润为 )?(x402L(x)?(200?10x)(40?x)?7200?220x?10x(0?x?40)， L?(x)?0?x?11 比较L(11),L(0),L(40)处利润：L(11)?L(0)?L(40)； 所以，租金为(200?10?11)?31元时，利润最大。 05．罗尔定理、微分中值定理及其应用 Rolle定理：如果f(x)在(a,b)可导，在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)，则??(a,b)存在，使得f?(?)?0。 Lagrange中值定理：如果f(x)在(a,b)可导，在[a,b]上连续，则存在??(a,b)，使得。 f(a)?f(b)?f?(?)(b?a)例3.53．问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：（ ） A）y?sinx,x?[??,?]，B）y?x|x|,?1?x?1 C）y?3x,?1?x?1， D）y?x?1,?1?x?1 32解：选择C，因为y?x在x?0处导数不存在。 例2.61 已知f(x)?arctanx,x??，求Lagrange中值定理中的?。 [1,1]解：f(1)?f(?1)?2f?(?)?21??2,即???4??1 例2.62．证明f(x)?x?8x?a在[0,1]上不可能有两个零点.

证明:反证法。如果在[0,1]上有两个零点x1,x2(不妨设x1?x2)，即f?x1??f(x2)?0. f?x?在[x1,x2]满足定理条件,所以存在??(0,1)时,3??8?0，故矛盾,原命题得证.

23 - 43 -

创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印

例2.62．设f(x)可导,求证f(x)的两个零点之间定有af?x??f?(x)的零点. 证明:构造辅助函数F(x)?f(x)eax .

设x1,x2为f?x?的两个互异零点,不妨假设x1?x2,且f?x1??f(x2)?0 所以F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,故存在??(x1,x2)使得

F?(?)?af(?)ea?a??f?(?)e?0。

所以f?(?)?af(?)?0,命题得证.

例2.63．f(x)在[b,a]上二阶可导,f(a)?0,设F(x)?(x?b)2f(x),证明：存在??(b,a),使得F??(?)?0.

证明:由于F(b)?0,F(a)?0且F(x)在[b,a]上二阶可导,所以F(x)在[b,a]满足罗尔定理,故存在?1?(b,a)使得F?(?1)?0，F?(x)?2(x?b)f(x)?(x?b)2f?(x) 知F?(b)?0。

?1]满足罗尔定理条件，所以存在现在考虑g(x)?F?(x),x?[b,?1],其在[b,??(b,?1)?(b,a),使得F??(?)?0。 例2.64．证明方程x4?4x?3?0只有一个正根. 证明：（1）根的存在性 令f(x)?x?4x?3,x?[0,1],f(0)??3,f(1)?2?0,由于f(x)在闭区间[0,1]上连续，故由闭区间连续函数介值定理知，存在??(0,1)，使得f(?)?0, 即，方程f(x)?x?4x?3?0有正根.

（2）根的唯一性 应用反证法。设有两个不同根x1,x2,(x1?x2)，则f(x)?x?4x?3在[x1,x2]上满足罗尔

3定理条件，所以，存在??(x1,x2)，使得f?(?)?4??4?0,这不可能，故矛盾，所以根是唯

444一的。

综合(1)(2)，原命题成立。

例2.65．证明：方程sinx?x有且仅有一实根。

证明：x?0是方程的一个根。

对|x|?1，方程无根，只要考虑x?[?1,1],令f(x)?sinx?x,f(0)?0，f??cosx?1，

- 44 -

第二章 导数计算及应用

当x?[?1,0)时，f?(x)?0,f(x)严格单调上升，f(x)?0，当x?(0,1]时，f?(x)?0,f(x)严格单调上升，f(x)?0，总之，方程仅有一实根0。 注：注意上述两例的区别。

例2.66．设函数f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f?(x),f(x)在x?0处连续且

f(0)?0,试证：对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a,b均有下式成立：

f(a)?f(b)?f(a?b)。

证明:f(x)在?0,a?上满足拉格朗日的定理条件，故存在?1?(0,a)使得 f(a)?f(0)?f?(?1)a, 由f(0)?0，所以f(a)?f?(?1)a； f(x)在(b,a?b)上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在?2?(b,a?b)使得 f(a?b)?f(b)?f?(?2)(a?b?b)?f?(?2))a 由于?1?a?b??2，而f?(x)是单调下降的函数，故f?(?1)?f?(?2)； 所以f(a?b)?f(b)?f(a)成立，即f(a?b)?f(a)?f(b)，原命题得证。 例2.67．f(x)在?0,a?上连续，且(0,a)内可导，f(a)?0。 证明：存在??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0。 证明：构造F(x)?xf(x),x?(0,a)， F(x)在(0,a)上可导，?0,a?上连续，且F(0)?0,F(a)?af(a)?0， 故F(x)在?0,a?上满足罗尔定理，故存在??(0,a)，使得 F?(?)??f?(?)?f(?)?0， 即原命题得证。 例2.68．设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数，g??(x)?0，f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0，

f(?)f??(?)证明：存在??(a,b)使 ?g(?)g??(?)证明：构造p(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x)，由条件p(a)?p(b)?0，p(x)满足罗尔定理条件，因此存在??(a,b)使p?(?)?f(?)g?(?)?f?(?)g(?)?0，因为g??(x)?0,g(?)?0,（否则

f(?)f??(?)，于是。 ?g(a)?g(b)?g?()?推得0g??(c)?0）

g(?)g??(?)例2.69．已知f(x)在?0,a?上连续，在(a,b)内f??(x)存在，又过点A(a,f(a))，B(b,f(b))两

- 45 -

创新、学术、励志、激情 新航道专转本数学内部资料 严禁翻印

点直线交曲线y?f(x)于C(c,f(c))，且a?c?b。试证明：在(a,b)内至少存在一个?使得

f??(?)?0。

f(b)?f(a)b?a证明：构造F(x)?f(x)?f(a)?(x?a)，

由题意可知：F(a)?0,F(b)?0,F(c)?0。

F(x)在?a,c?和?c,b?上分别满足拉格朗日定理条件。故存在?1?(a,c)使得F?(?1)?0，

存在?2?(a,c)使得F?(?2)?0； （?1，?2）?（a,b)使得F?(x)在区间??1,?2?上满足罗尔定理条件。所以存在??F??(?)?0。 而F??(x)?f??(x)，故f??(?)?0，原命题得证。 6．函数不等式证明 通常证明不等式的方法有：应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。 例2.70．证明arctana?arctanb?b?a 证明：当a?b时，原不等式显然成立。 当a?b（无妨设a?b），设f?x??arctanx，在?a,b?上满足拉格朗日定理，存在??(a,b)使得； arctanb?arctana?11??2(b?a)， 两边取绝对值， arctanb-arctana?b?a。 例2.71．证明：当0?x??2时，2?x?sinx?x成立。 证明：构造f?x??x?sinx,f?0??0， f??x??1?cosx?0 （0?x????2）

则f?x?在?0,???上严格单调上升，f?x??f?0??0，

2?即，x?sinx。

- 46 -

第二章 导数计算及应用

构造g?x??sinxx，g??x??xcosx?sinxx2，

令F?x??xcosx?sinx，F??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?0 所以F?x?严格单调下降，F?0??0，故F?x??0，

2???， ???2??所以g??x??0。说明g?x?严格单调下降，g?x??g?2即，sin?x???x。结合前面的两结论可知原命题成立。 1?x1?x?2x例2.72．证明,当0?x?1时,有e? 证明:原命题等价于:e?2x(1?x)?1?x 构造函数F(x)?e?2x(x?1)?(1?x),F(0)?0, F?(x)?e?2x?e?2x(x?1)(?2)?1,F?(0)?0,F??(x)=4xe?2x?0(0?x?1) F?(x)严格单调上升, F?(x)>F?(0)?0 F?x?严格单调上升,即F(x)?F(0)?0， 亦即，e?2x(x?1)?(1?x)?0，即原命题得证。 2例2.73． 证明：当0?x?2时，4xlnx?x?2x?4?0。 证明:令F(x)?4xlnx?x?2x?4， F?(x)?4lnx?2x?2，F?(x)?0有且仅有一根x?1， F??(x)?4x?2?0。? F(x)在x?1取极小值， 22 F(1)?1，F(0)?lim?(4xlnx?x?2x?4)?4，F(2)?8ln2?4?0,?Fmin?0， x?02所以，F(x)?4xlnx?x?2x?4?Fmin?0，命题得证. 例2.74．证明：当x?0时,ln?1?x??arctanx1?x

证明: 原命题等价于：?1?x?ln?1?x??arctanx，

构造F?x???1?x?ln?1?x??arctanx，F?0??0，

- 47 -

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库新航道江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(5)在线全文阅读。