合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（文科）(2)

ln????时，f??x??0. 当x????，x1?时，f??x??0；当x??x1，a? ln????上有唯一极值点. ∴f?x?在???，a???1?2???2???2?又∵当a???， 0?时，g?2ln?????4??ln????.

?a???a???e???ax2112?x设h?x??lnx?，其中x????e，???，则h??x?????0，

2ax22x?1?e?2???2??2ln?????0. ∴h?x??h?e??1??0，∴4h?x??4??ln?????g?aaa2??????????2???????2???????2?即当a???， 0?时，g?2ln?e?????2????????2????1?2????4?????ln?a???a???2???????0， ?a??而 g?ln?????2?ln????1??0，

aa???上单调递减，∴g?x??f??x?在?ln???，???上有唯一零点x2，∵g?x??f??x?在?ln???，

aa??????2??????2????当x??ln???，x2?时，f??x??0；当x??x2，???时，f??x??0.

a?????上有唯一极值点. ∴f?x?在?ln???，a????2??????2?????2?综上所述，当f?x?有两个极值点时，a???， 0?. ????????12分

e??

(21)(本小题满分12分)

1(Ⅰ)∵f?x??ex?x2?ax，∴f??x??ex?x?a.

2x设g?x??e?x?a，则g??x??ex?1.

令g??x??ex?1?0，解得x?0.

∴当x????， 0?时，g??x??0；当x??0，???时，g??x??0. ∴g?x?min?g?0??1?a.

当a?1时，g?x??f??x??0，∴函数f?x?单调递增，没有极值点；

当a?1时，g?0??1?a?0，且当x???时，g?x????；当x???时，g?x????. ∴当a?1时，g?x??f??x??ex?x?a有两个零点x1，x2. 不妨设x1?x2，则x1?0?x2.

∴当函数f?x?有两个极值点时，a的取值范围为?1， ???. ???????5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，x1，x2为g?x??0的两个实数根，x1?0?x2，g?x?在???， 0?上单调递减. 下面先证x1??x2?0，只需证g??x2??g?x1??0.

∵g?x2??ex?x2?a?0，得a?ex?x2，∴g??x2??e?x?x2?a?e222?x2?ex2?x22.

设h?x??e?x?ex?2x，x?0，

1 ???上单调递减， ?ex?2?0，∴h?x?在?0，xe∴h?x??h?0??0，∴h?x2??g??x2??0，∴x1??x2?0.

则h??x??? 0?上也单调递减，∴f?x1??f??x2?. ∵函数f?x?在?x1，2?2?0. ∴要证f?x1??f?x2??2，只需证f??x2??f?x2??2，即证ex?e?x?x2226

设函数k?x??ex?e?x?x2?2，x??0，???，则k??x??ex?e?x?2x. 设??x??k??x??ex?e?x?2x，则???x??ex?e?x?2?0， ∴??x?在?0，???上单调递增，∴??x????0??0，即k??x??0. ???上单调递增，∴k?x??k?0??0. ∴k?x?在?0，2∴当x??0，?2?0， ???时，ex?e?x?x2?2?0，则ex?e?x?x222∴f??x2??f?x2??2，∴f?x1??f?x2??2. ?????????12分

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

?2t?x??1??2(Ⅰ)由直线l的参数方程?得，其普通方程为y?x?2，

2?y?1?t??2∴直线l的极坐标方程为?sin???cos??2.

又∵圆C的方程为?x?2???y?1??5， 将??x??cos?代入并化简得??4cos??2sin?，

y??sin??22∴圆C的极坐标方程为??4cos??2sin?. ????????5分 (Ⅱ)将直线l：?sin???cos??2，

与圆C：??4cos??2sin?联立，得?4cos??2sin???sin??cos???2，

3cos整理得sin?cos??2?，∴???2，或tan??3.

不妨记点A对应的极角为

?，点B对应的极角为?，且tan?=3. 2310???sin??于是，cos?AOB?cos?????. ????????10分 210??

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

(Ⅰ)f?x??x?1，即x?1?x?3?x?1.

x?1. (1)当x?1时，不等式可化为4?2x?x?1，又∵x?1，∴x??；

(2)当1?x?3时，不等式可化为2?x?1，x?1. 又∵1?x?3，∴1?x?3.

x?5. (3)当x?3时，不等式可化为2x?4?x?1，又∵x?3，∴3?x?5.

综上所得，1?x?3，或3?x?5，即1?x?5. ∴原不等式的解集为?1， 5?. ???????5分

(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，x?1?x?3??1?x???x?3??2， ∴c?2，即a?b?2.

令a?1?m，b?1?n，则m?1，n?1，a?m?1，b?n?1，m?n?4，

?m?1??n?1?a2b21144????m?n???4???1， a?1b?1mnmnmn?m?n?2???2?原不等式得证. ???????10分

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