合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（文科）

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(文科)

(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2(1)设复数z?1?(其中i为虚数单位)，则z=

iA.5 B.3 C.5 D.3

?1?(2)已知集合A??x?Rx2?2x?0?，B???， 1?，则?CRA??B?

?2??1??1?A.? B.??? C.?1? D. ??， 1?

?2??2?11??(3)已知????1，，若f?x??x?为奇函数，且在?0， ???上 2 ，， 3 ?，

23??单调递增，则实数?的值是

1111A.-1，3 B.，3 C.-1，，3 D.，，3

3332(4)若正项等比数列?an?满足an?2?an?1?2an，则其公比为 1A. B.2或-1 C.2 D.-1 2(5)运行如图所示的程序框图，则输出的s等于

A.?10 B.?3 C.3 D.1

(6)若l，m是两条不同的直线，?为平面，直线l⊥平面?，则“m//?”是“m?l”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(7)右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N个，落在圆内的豆子个数为M个，则估计圆周率?的值为

3M23M23M3M B. C. D.

NNNN(8)函数f?x??xcosx?sinx的图象大致为

A.

1(9)若?ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin?C?A??sinB，且b?4，则

222c?a?

A.10 B.8 C.7 D.4

y2x2(1 0)已知双曲线C: 2?2?1(a?0，b?0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，

ab????M的直线交双曲线的下支于A点.若M为AF的中点，且AF?6，则双曲线C的方程为

x2y2y2x2y2x22A.??1 B.??1 C.y??1 D.?x2?1

4428821

(11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

A.125 B.40 C.16?123 D.16?125 a (12)若函数f?x??x??alnx在区间?1 2，?上是非单调函数，则实数

xa的取值范围是

?4??4??14??14?A.?， +?? C.?， +?? D.?， ? B.?， ?

2323?33???????

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.

4(13)已知2x?3，log2?y，则x?y的值等于_________.

3?x?y?1?0?(14)若实数x，y满足条件?x?y?1?0，则z?2x?y的最大值为______.

?x?3y?3?0?????????????????????(15)已知OA??2， 0? ， OB?0，?，AC?tAB，t?R.当OC最小时，t? . ? 2(16)已知数列?an?的前n项和为Sn，且数列?S2018? . ?Sn??为等差数列.若S2?1，S2018?S2016?5，则n??

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

?将函数y?f?x?的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

12可以得到函数y?cos2x的图象.

(Ⅰ)求f?x?的解析式； (Ⅱ)比较f?1?与f???的大小.

(18)(本小题满分12分) 2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下： 收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20 (Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？

(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？

(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.

附：K2?n?ad?bc?2a?c??b?d?a?b??c?d???，其中n?a?b?c?d.

2

P?K2?k0? k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879

(19)(本小题满分12分)

如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是梯形，AB?CD，AB?AD，AA1?4，1DC?2AB，AB?AD?3，点M在棱A1B1上，且A1M?A1B1.点E是

3直线CD的一点，AM?平面. BCE1(Ⅰ)试确定点E的位置，并说明理由；

E的体积. (Ⅱ)求三棱锥M?BC1

(20)(本小题满分12分)

记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆x2y2E： ??1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M. 1612(Ⅰ)求椭圆M的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断?ABO的面积是否为定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f?x??aex?x2?a(e为自然对数的底数).

(Ⅰ)若函数f?x?的图象在x?0处的切线为l，当实数a变化时，求证：直线l经过定点； (Ⅱ)若函数f?x?有两个极值点，求实数a的取值范围.

请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

??x??1??在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y?1???2t2(t为参数)，圆C的方程为2t2?x?2???y?1?22?5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求直线l及圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线l与圆C交于A，B两点，求cos?AOB的值.

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?1?x?3. (Ⅰ)解不等式f?x??x?1；

a2b2(Ⅱ)设函数f?x?的最小值为c，实数a，b满足a?0，b?0，a?b?c，求证：??1.

a?1b?1合肥市2018年高三第二次教学质量检测

3

数学试题(文科)参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.

题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C 11 D 12 A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

1 (13)2 (14)8 (15) (16)3027

2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

1(Ⅰ)将函数y?cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y?cos4x的图象，

2???????再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y?cos4?x???cos4x??的图象， ?123??12?????即f?x??cos?4x??. ?????????6分

3?????????(Ⅱ)f????cos?4????cos，而f?1??cos?4??.

333??????∵?4???，∴f?1??0?f???. ????????12分 23

(18)(本小题满分12分)

(Ⅰ)因为K?2120??60?20?20?2080?40?80?40?2?7.5?6.635，

所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ?????????5分

31(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生?8?6人，女生?8?2人，

44所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ?????????8分 (ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种， 其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，

123?. ?????????12分 所以，所求概率P?287

(19)(本小题满分12分)

(Ⅰ)如图，在棱C1D1上取点N，使得D1N?A1M?1. 又∵D1N//A1M，∴MN//A1D1//AD. ∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//DN. 过C1作C1E//DN交CD于E，连结BE， ∴DN//平面BC1E，AM//平面BC1E，

∴平面BC1E即为所求，此时CE?1. ??????6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，AM//平面BC1E，

1?1?∴VM?BC1E?VA?BC1E?VC1?ABE????3?3??4?6. ??????12分

3?2?

(20)(本小题满分12分)

4

(Ⅰ)由条件知，椭圆M的离心率e?1，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)， 2x2y2∴椭圆M的方程为??1 ????????4分

43(Ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l:y?kx?b. ?y?kx?b?由?x2y2得，?3?4k2?x2?8kbx?4b2?12?0.

?1???43令??64k2b2?4?3?4k2??4b2?12??0得，b2?3?4k2.

x2y2联立y?kx?b与??1，化简得?3?4k2?x2?8kbx?4b2?48?0.

16128kb?8k?x?x???，12?b?3?4k2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则? 22?x?x?4b?48?4b?48.12?3?4k2b2?b121?k2∴AB?1?kx1?x2?，而原点O到直线l的距离d? b1?k21∴S?ABO?AB?d?6.

2当直线l的斜率不存在时，l:x?2或x??2，则AB?6，原点O到直线l的距离d?2，

2∴S?ABO?6.

综上所述，?ABO的面积为定值6. ????????12分

(21)(本小题满分12分)

(Ⅰ)∵f?x??aex?x2?a，∴f??x??aex?2x，f??0??a.

又∵f?0??2a，∴直线l的方程为y?ax?2a，

∴直线l经过定点(-2，0). ???????????4分 (Ⅱ)∵f?x??aex?x2?a，∴f??x??aex?2x. 设g?x??aex?2x，则g??x??aex?2.

当a?0时，g??x??0，即g?x?在R上单调递增，则f??x??aex?2x最多有一个零点，函数f?x?至多有一个极值点，与条件不符；

?2?当a?0时，由g??x??aex?2?0，得x?ln???.

?a? ln????时，g??x??0；当x??ln???， ???时，g??x??0. 当x????，aa??? ln????上单调递增，在?ln???， ???上单调递减， ∴g?x?在???，aa?????2???????2??????2???????2????∴g?x??g?ln????，即g?x?max?g?ln?????2?ln????1?.

aaa??????2???????2???????2??????2???2?令2?ln????1??0，解得a???， 0?.

ae????????2????2???2?∵g?0??a?0，a???， 0?，∴g?ln?????2?ln????1??0，

??a????a???e????2???2?? ln????上单调递增，∴g?x??f??x?在???， ln????上有唯一零点x1，∵g?x??f??x?在???，

aa????????5

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