高考数学圆锥曲线的经典性质50条(2)

高三数学备课组

双曲线

1.

2.

x2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方

abx2y2程是2?2?1.

abx2y2过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且

abb2x0kBC??2（常数）.

ay0、

3. 若P

x2y2为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2

ab是焦点,

?PF1F2??,

?PF2F1??，则

c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a224.

x2y2设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为

abF1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,

?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?c??e.

?(sin??sin?)a5.

x2y2若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1

ab是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6.

x2y2P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,Pab三点共线且P和

A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y2222227. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.

abx2y28. 已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.

ab4a2b2a2b2111122

（1）;（3）S?OPQ的最小值是2. ??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为22222b?ab?a|OP||OQ|ab9.

x2y2|PF|e?. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2x2y2a2?b2已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0?或

abaa2?b2x0??.

ax2y22b2设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F.(2) 1||PF2|?1PF2??，则(1)|PFab1?cos??S?PF1F2?b2cot.

2x2y2设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别

ab10.

11.

12.

2ab2|cos?|是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?.

|a2?c2cos2?|2a2b22cot?. (2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a213.

x2y2已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F

abl上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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