高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

椭 圆

1. 2. 3. 4. 5.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

6.

7.

8.

x0xy0yx2y2?2?1. ??1若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx0xy0yx2y2?2?1. ??1若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000a2ba2b2?x2y22S?btan椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F，则椭圆的焦点角形的面积为PF???F1PF2122abx2y2椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

.

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11.

x2y2b2AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2abab2x0即KAB??2。

ay0，

12.

x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是

aba2babx2y2x2y2x0xy0y?2. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?ababa2b双曲线

1. 2. 3. 4. 5.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

.

13.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

6.

7.

8.

x0xy0yx2y2?2?1. ??1若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x0xy0yx2y2?2?1. ??1若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是(x,y)1212000222ababx2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为

ab?S?F1PF2?b2cot.

2x2y2双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，

则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11.

b2x0x2y2AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2abay0x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

aba2babx2y2x2y2x0xy0y?2. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2ababab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

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，即KABb2x0?2ay0。

12.

13.

1.

2.

x2y2椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

abx2y2?2?1. 2abx2y2b2x0过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常

abay0、

数）. 3.

a?c??x2y2?tancot若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF, ，则. F???PFF??1221a?c22ab设椭圆

4.

x2y2??1（a＞b＞0）的两个焦点为a2b2F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记

?F1PF2??,

?PF1F2??,?F1F2P??，则有

sin?c??e.

sin??sin?a5.

x2y2若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应

ab准线距离d与PF2的比例中项.

6.

x2y2P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,Pab三点共线时，等号成立.

7.

8.

(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是A2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2. 椭圆22abx2y21111???2已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）222ab|OP||OQ|ab;（2）|OP|2+|OQ|2

9.

4a2b2a2b2的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2. 22a?ba?bx2y2|PF|e?. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

ab|MN|2x2y2a2?b2a2?b2?x0?已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则?abaax2y2点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??ab2b2，则(1)|PF1||PF2|?1?cos?.

10.

11. 设P.(2)

S?PF1F2?b2tan12.

?2.

x2y2设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??, ?PBA??,?BPA??ab2a2b22ab2|cos?|2cot?. 半焦距离心率，则有(1)|PA|?2.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2b?a2a?c2cos2?x2y2已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

，c、e分别是椭圆的

13.

的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

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