高三第一轮复习数学数列同步和单元试题8套(5)

数列练习题

b2na12a12 ∴ 2a2n?a? ∴ a2n?b2n? ? 即 a2n?12a?b

22n?a2?

?b22n?a2??b2n2a?b2n?a??0

2当且仅当bn?a，即q?1时，上式等号成立． 故当q?1时，a2n?b2n，当q?1时，a2n?b2n．

[评析]将a2n用b2n表达是解答本题的关键；作差后的配方是判断符号的需要，也体现了“集

中变量”这一重要的数学思想．

12． [解析]由题设知a1?n?1，a2??n?1???n?2??1， a3??n?1???n?2???n?3?1?，??2

在第k站出发时，前面放上的邮袋共有?n?1???n?2???????n?k?个，而从第二站起，每站放下的邮袋为1?2?????(k?1)个．

故ak=（n-1）+(n-2)+…+(n-k)-[1+2+…(k-1)] ?kn??1?2????k?? ?kn??1?2? )???(k????1k(k?1)k(?k1)2??kn?k （k＝1，2，3，?，n） 2222n?n?（2）由（1）知ak???k???

24??n2 若n为偶数，则当k?时，ak的最大值为

n?12n24

若n为奇数，则当k?

n?12或k?，ak的最大值为

n?142．

§5．数列求和

一．选择题

1．B 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C

二．填空题

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数列练习题

?n(n为偶数)200420057．224?1 8．?

三．解答题

??n(n为奇数) 9． 10．11，7

11． [解析]：裂项求和

?11?1?? ??? ak?1ak?ak?1ak?d1答：

n?1a1an

（2）求数列??2n?1??的前n项和 n2??[解析]：错位相减法 答：3?2n?32n

12． [解析]（1）∵ f?x?的图像过?0,0? ∴ c?0 又 f??x??2ax?b?2x?1 ∴ a?1，b?1 （2）∵ f?x??x2?x ∴ 对称轴为x??212 ∴ f?x?在x??n,n?1?上单调递增

22 而 f?n??n?n，f?n?1???n?1???n?1??n?3n?2

∴ an?f?n?1??f?n??1?2n?3 （3）bn?2anan?1?2?12n?3?12n?5?2n?3??2n?5?

∴ Sn?b1?b2?b3?????bn ?? ? ??1?5?1??11????7??791???1????????? ??2n?32n?5?15?12n?52n

5?2n?5?§6．数学归纳法

一．选择题

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数列练习题

1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 二．填空题 6．1?12，

11?1 7．2k 8．两边同乘以

a?b2

三．解答题

9． 证明：（1）当n?1时 3立

（2）假设n?k时命题成立，即3 则n?k?1时 34?k?1??24k?24?1?2?52?1?1?854?61?14 能被14整除， ∴n?1时命题成

?52k?1能被14整除

?52?k?1??1?3?3?4k?2??4?5?5?5?2k?1??22k?1?3?52k?142k?1?3?5442k?1

4

?34?3?34k?24k?22k?1??5??5?52?3?2k?1

?4?14 能被14整除

∴ n?k?1时，命题成立．

综合（1）、（2）知命题对一切n?N均成立．

*[评析]第二步证明中想方设法配出假设中的代数式34k?2?52k?1是此类问题的解题规律．

10． 证明：由条件（1）、（2）知 2?f?2??f?1??f?2??2f?1? ∴ f?1??1 即当x?1时，f(x)?x成立

假设x?1，2，3，?，k时，有f(x)?x 则当x?k?1时，若k?1?2s ?1?s?k?， 则f?k?1??f?2s??f?2?f?s??2s?k?1； 若k?1?2t?1 ?1?t?k? 则 2t?f?2?t?f?2t??1??f 22t??2?2t? 即 2t?f?2t?1??2t?2

由于f(x)是在N上的数值函数，故f?2t?1??2t?1 即f?k?1??k?1，

*综上所述，f?x??x对x?N恒成立

*[评析]这一题的证明充分显示出数学归纳法的威力．

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数列练习题

§7．归纳、猜想、证明

一．填空题

n??1．，，； 2．?1??345n?1m??222210?a% 3．an?26n?5 4．40120 5．tn2

6．2，8，16，2n 7．1，－1，1，1 8．k?1

二．解答题

9．[解析]∵ a1?S1?2?1?a1 ∴ a1?1 S2?a1?a2?1?a2?21 S3?a1?a2?a3?3?2?2 2∴ a2??a32

74?a32?3?32?74a∴ ? a3?3

158a?1? S4?a1?a2?a?34?a?42?4?a ∴ a4?4

由此猜想an?2?12n?1n ?n?N1*?，下面用数学归纳法证明：

?1，等式成立

证：1o当n?1时，a1?2?1202o假设n?k时，等式成立 即 ak?2?12k?1k，则

当n?k?1时，∵ Sk?1?2?k?1??ak?1 Sk?2k?ak

∴ ak?1?Sk?1?Sk???2?k?1??ak?1????2k?ak? ak?1?ak?ak?1?2 ∴ ak?1k?1?2?1??ak?2???k?1?2? 22?2?112?12?1 ?? ?k?1k222k?1k?1即n?k?1时，等式成立

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数列练习题

2?12n?1n 综合1o、2o对n?N，an?n*均成立．

10．[解析]

?2???2?f?2???2???2?n?n?n?2?12?1nn?1?22?1n 而

n?1n?122?1?2n?12

∴ f?2?与nn?122?1的大小等价于 2n与n的大小．

2当n?1时，21?12 当n?2时，22?22 当n?3时，2?3 当n?4时，24?42 当n?5时，2?5

猜想当n?5时，2?n，以下用数学归纳法证明 1o当n?5，由上可知不等式成立

2o假设n?k?k?5?时，不等式成立 即2?k 则

k2n25232当n?k?1时，22k?1?2?2?2k

2k2又 ∵ 2k??k?1???k?1??2?0 （∵ k?5） 即 2k?12??k?1?

2∴ n?k?1时 不等式成立

*综合1o、2o 对n?5,n?N不等式2?n成立

n2所以 当n?1或n?5时，f?2??nn?122n?122?1

当n?3时，f?2??n?2??n?1

当n?2或4时，f

n?122?1

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