第14章光学部分指导(5)

第二级明纹满足 asin?2?(2?2?1)

?22

75 两明纹重合，则?2??3即 ?1??2

22 得 ?1??2?575?600?428.6nm 719-4 一双缝间距d=0.10mm，每个缝宽为a=0.02mm。用波长λ=480nm平行单色光垂直入射双缝，在缝后放置焦距为f=50cm透镜。试求（1）透镜焦平面屏上干涉明条纹间距？（2）单缝衍射中央亮纹宽度？（3）单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的数目？

解：解 （1）干涉明条纹间隔

?x?f(tan?k?1?tan?k)?f(sin?k?1?sin?k)?f(k?1kf????)?ddd

?2.4?10?3m （2）单缝衍射中央明纹宽度为

?x0? （3）单缝衍射第一级暗纹为

2fλ?2.4?10?2m aasinθ?λ

双缝干涉的第k级明纹为

dsinθ?kλ

因此

k?d/a?5

又k=5满足缺级条件，实际上观察不到。因此在单缝衍射中央明纹范围内可以看到干涉主极大的级次为：0,?1,?2,?3,?4，一共9条明纹。

19-5一平行单色光垂直照射到a=0.6mm的单缝上，缝后会聚透镜的焦距f=40mm，在屏上观察到离中央明纹中心1.4 mm处的P点为一明条纹。求：（1）入射光的波长；（2）P点条纹的级数；（3）从P点看狭缝处的波阵面可分为几个半波带？

解：此题用半波带法分析，P点处为明条纹，则狭缝处的狭缝处的波阵面应分成奇数个半拨带，即 asin??(2k?1)?2

在可见光范围内，推算能满足上式的k值和?值。 设屏幕上P点距中央明纹中心为x

则 x?ftg??fsin?

代入上式得 ax?1?(2k?1)?(k?)? f22ax10.6?10?3?1.4?10?31所以 k????

f?2240?10?2?? 而可见光的范围为 ??4000?10?40~7600?10?10m

求得对应k值范围是 2.3~4.75 因为k只能取整数，所以k=3或k=4.

当 k=3时，得?3?6000?(红光)，对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=7个

半波带，

当k=4,得?4?4667 ?（蓝光），对应从P点看狭缝处的波阵面可分为2k+1=9个半

波带

19-6用一橙黄色(波长范围6000?～6500?)平行光垂直照射到宽度为a=0.6mm的单缝上，在缝后放置一个焦距f=40cm的凸透镜，则在屏幕上形成衍射条纹，若屏上离中央明条纹中心为1.40mm的P处为一明条纹，试求：

(1)入射光的波长 (2)中央明条纹的角宽度，线宽度 (3)第一级明纹所对应的衍射角 解: (1)由明纹条件 asin??(2k?1)?2

(2k?1)?(2k?1)?? (k=1,2,3,···) 2a2a得 ??arcsin 第k级明纹在屏上的位置

xk?ftan??f??(2k?1)f? 2a2axk??而 (2k?1)f?1? ,

1

设λ1=6000?, λ2=6500? 由λ≤ λ ≤ λ2 即

2axk??2

(2k?1)faxk1axk1??k?? ,

得 f?2f?212代入数据 a=0.6mm , xk=1.40mm , f =400mm和λ1,λ2

得 2.73≤ k ≤ 3 ∴ k = 3

而 ?? ?6000A

o2axk2?0.6?1.40??6.00?10?4mm(2k?1)f(2?3?1)?400

(2) 第一级暗纹的衍射角即中央明纹的半角宽度 ?1??a ,

2??0.002 rad a 而角宽度为 ???2 ?1?线宽度为

?x?f ???0.8mm

?和k?1 2(3) 由明纹条件 asin??(2k?1)得 sin??3?2a

? ??3??1.5?10?3(rad) 2a19-7一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为2×10－3cm，在光栅后放一焦距为1m的凸透镜，现以波长为600nm的平行单色光垂直照射光栅。求（1）透光缝的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

600?10?6mm?1000?60mm 解：（1）单缝衍射中央明条纹宽度为?x?2f?2?a2?10?2mm （2）根据光栅方程 dsin??k? （干涉主极大）

? 及 asin??k?? （单缝衍射极小） 两式相比有 当k??1时，k?dk? ak?d?2.5 a 所以，单缝衍射主极大内有0、?1,?2共5级主极大。

19-8平行单色光波长为500nm，垂直入射到每毫米200条刻痕的透射光栅上，光栅后面放置一个焦距为60cm的透镜。求（1）中央明纹与第一级明纹的间隔？（2）当入射光与光栅法线成30o斜入射时，中央明纹中心移动多少距离？

??k? 解;(1)根据明纹公式 dsin500?1?60?600?6mm0 中央明纹与第一级明纹的间隔为 x1?f?1d200? (2)斜入射时满足光栅方程 d(sin??sin?)?k? 对于中央明纹有k=0, 故d(sin30??sin?0)?0 得?0?30? 对应接收屏上的位移为

?x?ftg30??tg30??600?35cm

19-9波长范围为400~700nm 的白光垂直照射在光栅常数为2?10?3mm的光栅上,实验测得位于透镜后焦面的屏上的光栅衍射第一级光谱的宽度约为56.5mm,问透镜的焦距约为多少?

解:由光栅方程式可得波长范围为400~700nm的第一级谱线的衍射角分别为

4?10?4? ??arcsin ?arcsin?11.54?3a?b2?10?7.6?10?4 ???arcsin?arcsin?22.33? ?3a?b2?10??第一级光谱衍射角的范围 ????????22.33??11.54??0.188(3rad) 由?x?f???可的，透镜L的焦距 f??x56.5??0.3(m) ??0.188319-10 在通常亮度情况下，人眼瞳孔的直径约为3mm，求人眼的最小分辨角？如果在黑板上画两根相距1cm的平行直线，问在距离黑板多远处恰好能够分辨这两根直线？

解：（1）D=3mm，在可见光中，人眼对5500?的黄绿光最敏感，将该波长值代入，得人眼最小分辨角为

θminλ5.5?10?7?4?1.22?1.22?2.2?10rad ?3D3?10（2）设平行线间距为l，人到黑板距离为x，两平行线对人眼所张角为β，β若刚好分辨，则有β?l/x

?θmin，所以

x?lθmin1?10?2??45.5m ?42.2?10

19-11为了使望远镜能分辨角间距为3.00×10-7rad的两颗星，其物镜的直径至少应多大？（可见光中心波长为550nm）

解:此题的分析思路与上题相同,根据瑞利判据有 ??3.00?10?7?1.22?D

1.22?550?10?6?2237mm?2.24m 由此,可得物镜的直径应满足 D?3.00?10?719-12一束X射线含有0.095nm到0.13nm范围的各种波长，以掠射角45o入射到晶体上。已知晶格常数为0.275nm。求该晶体对哪些波长的X射线产生强反射？ 解:根据布拉格公式 2dsin??k?

2dsin?2?0.275?sin45?0.3889 ?? ??kkk??0.126nm

当k=4时 ??0.097nm

通过计算可知 当k=3时

K为其它值时,不能得到0.095~0.13nm范围内的波长.故该晶体能对0.126nm,0.097nm的两种波长的X射线产生强反射。

19-13 ?=0.5?m的单色光垂直入射到光栅上，测得第三级主极大的衍射角为30°，且第一个缺级出现在第4级主极大。求：（1）光栅常数d；（2）透光缝宽度a；（3）对上述a、d屏幕上可能出现的谱线数目是多少？ 解：（1）由光栅方程 dsinθ=kλ，式中θ=30°，k=3，λ=0.5μm，代入得光栅常数d?3μm

（2）根据缺极条件，依题意，有

dk??4，所以缝宽 a?d/4?0.75μm ak'（3）k?dsinθ/λ?d/λ 即k?6

其中?4级缺级，?6级出现在衍射角为90°处，实际上是看不到的。因此在屏幕上

出现的谱线为0,?1,?2,?3,?5共9条。

19-14在氢和氘混合气体的发射光谱中，波长为656nm的红色谱线是双线，其波长差为1.8?。为能在光栅的第二级光谱中分辨它们，光栅的刻线数至少需要多少？ 解:对于第二级主极大 dsin??2? 因?较小,则 d??2?,

对应的有 d???2?? 即 ???2?? d 光栅衍射的主极大的条纹宽度均相同,它们的半角宽度为 dsin?0? 即 d?0??N

?N ?0??Nd 根据瑞利判据,要将波长差为1.8?的两个光谱在第二级分辨开来,必须满足 故有

????0

2???? dNd?656?10?6??1822 解得 N?2??2?1.8?10?719-15 一束波长为λ=500nm的平行单色光垂直照射在一个单缝上，单缝的宽度为a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距为f=1m。求：（1）中央明纹的角宽度？（2）中央明纹的线宽度？（3）第一级与第二级暗纹之间的距离？（4）如果在屏幕上离中央亮纹中心为3.5mm处的P点为一亮纹，试求P处亮纹的级数？（5）从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面

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