第14章光学部分指导(2)

例18-5一射电望远镜的天线架设湖岸上，距离湖面高度为h，对岸地平线上方有一恒星正在升起，恒星所发出光波为λ。试求当天线测得第一次干涉极大时，恒星所在的最小角位置？

解 如图18-5所示，直射光与经过湖面的反射光在O点相遇时，其光程差为

δ?BO?AO?λ/2

式中

λ θ B A 2θ O h BO?h/sinθ

AO?BOcos2θ?hcos2θ/sinθ

代入上式，得

δ?hhcos2θλλ???2hsinθ? sinθsinθ22δ?2hsinθ?λ?kλ 218-5

反射光干涉加强满足条件

对测得的第一次干涉极大，取k?1，代入上式，即为恒星所在的最小角θm

θm?arcsinλ 4h例18-6在牛顿环实验中，当透镜与玻璃之间充以某种液体，第10个亮环的直径由1.40?10?2m变为1.27?10?2m,试求这种液体的折射率.

解：当透镜与平板玻璃间为空气时，k级明纹的直径为

1d?2r?2(k?)R? k k2当透镜与玻璃之间为液体时，k级明纹的直径为

1R?dk??2rk??2(k?)2n2

解上述两式得

dn2?(k)2?1.22 dk?

例18-7 如题18-17图所示，I、II为两块精密的玻璃块，构成一个标准直角。A为一待测的直角棱镜。若A的直角加工有误差，则与I构成一空气劈尖（设棱镜另一边与II密合）。今用波长为?=589nm的平行光垂直入射于I，测得反射光等厚干涉的相邻明纹间隔?l?5.0mm。问

（1）棱镜的直角加工偏差为多少？ （2）如何判断被检测的棱镜直角是大于900还是小于90？

0

解：(1)设A与I构成的空气劈尖的楔角为?，第k级和第k+1级对应的劈尖厚度分别为

ek及ek?1。因?很小，由劈尖干涉原理可知

ek?1?ek??2n2??2??l?

?589?10?9?5故 ????5.89?10(rad) ?32?l2?5.0?10（2）在薄膜的等厚干涉中，要判断构成薄膜界面的各个元件的空间关系，都必须抓住等厚干涉的一个特点：同一级干涉条纹对应于薄膜中相同的光学厚度。薄膜的形状和光学厚度发生变化时，各级干涉条纹就随着迁移到与它原来的光学厚度相等的新位置上。因此，若将A向右平移时，各级条纹向下迁移，则说明A与I构成一个下薄上厚的空气劈尖，棱镜被检测的直角小于90?；若将A向右平移时，各级条纹向上迁移，则说明A与I构成一个上薄小厚的空气劈尖，棱镜被检测的角度大于90?（这种动态判断法常用于光学检测工艺中）

课后习题详解

18-1 如图，在杨氏双缝干涉装置中，在S2缝上覆盖厚度为h的介质片，设入射光的波长为?。则原来的零级条纹移至何处？若移至原来的第k级明条纹处，求介质片的折射率n为多少？

解：（1）从S1和S2发出的相干光到达屏上P点所对应的光程差为

??(r2?h?nh)?r1对于零级明纹，有 ??0

因此有 r2?r1??(n?1)h?0 说明原来的零级明纹至屏中央向下移动。

（2）对于原来第k级明纹，有

S1S2r1hr2P r2?r1?k?

r2?r1??(n?1)h?k? 最后得 n?1?

题18-1图 当插入介质片时，原来的零级明纹移到k级处，因此应当满足

k? h要注意由于零级在屏中央以下，所以式中的k应取负值。

18-2在杨氏双缝实验中,两缝间的距离是0.30mm,用单色光照射,在离缝1.2m远的屏上测得两个第五级暗条纹间的距离为22.78mm,问入射光的波长为多少?它是什么颜色的光?

解：在双缝干涉中，屏上暗条纹位置由x??(2k?1)应的距离x?D?决定。由于对称，第5级暗条纹对2d22.78mm。由暗条纹公式即可求得波长?，由杨氏双缝实验的公式可知 2xd?9??(2k?1)?? 暗条纹应满足 D22

两个第5级暗条纹间的距离为?x

?xd2?9?则 D2

?x22.78?10?3d??0.3?10?3?632.8nm 入射光的波长为 ??9D9?1.2这是红色光。

18-3 在双缝干涉实验中，两缝分别被折射率为n1和n2的透明薄膜遮盖，二者的厚度均为

e。波长为?的平行单色光垂直照射到双缝上，在屏中央处，求两束相干光的位相差。 解：在不加透明薄膜时，屏中央处的位相差为零。而在插入透明薄膜后，虽然两相干光在薄膜中的几何路程相同，但光程却不同，因此在屏中央处位相差不等于零。

插入透明薄膜前光程差

?1?r2?r1

在屏中央 r2插入透明薄膜后屏中央的光程差

?r1

?n1)e

1?1)?r1]?(n2 ?2?[(n2?1)e?r2]?[(n

所以两束相干光在屏中央的位相差

?22?(n2?n1)e???2?? ??18-4在洛埃镜装置中，狭缝光源S0和它的虚象S1在离镜左边20cm的平面内（如图），镜

长为30cm，在镜的右边边缘处放置一毛玻璃光屏，若S0到镜面的垂直距离为1.0mm，使用波长680nm的红光，试计算镜面右边边缘到第一条明条纹中心的距离。

距离为D=20+30=50cm

解：洛埃镜实验可以看作为双缝干涉。光源S0和虚光源S1是相干光源，这时缝到屏幕的但是不同之处在于洛埃镜的反射光有半波损失，故屏上的干涉条纹与双缝干涉条纹互补，亦即屏上明、暗条纹互补。

由于在洛埃镜装置中，反射光在镜面反射时存在着半波损失，因此明条纹应满足

xd???K? D2xd?? K?1 则

D2 第一条明条纹 x??D2d?680?10?9?(20?30)?10?22?2?10?3?8.5?10?5m

18-5在折射率n3?1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n2?1.38的MgF3增透膜，若此膜仅适用于波长??550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？

解1：在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用。本题所述的增透膜，就是希望波长??550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）。具体求解时应注意在

d?0的前提下，k取最小的允许值。

依题意，根据干涉的互补性，波长550nm的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差?2?2n2d，由干涉相消条件?2?(2k?1) 取k=0，则膜的最小厚度dmin?99.6nm

解2：由于空气的折射率n1?1，且有n1?n2?n3，则对透射光而言，两相干光的光程差

?2，

?1?2n2d??2，由干涉加强条件?1?k?，d?(k?1?)，取k=1，则膜的最小厚度22n2dmin?99.6nm

18-6把一细钢丝夹在两块光学平玻璃板之间,形成空气劈尖,已知钢丝的直径d=0.048mm,钢

丝与劈尖顶点的距离L=120mm，用波长为632.8nm的平行光垂直照射在玻璃板上，求

（1）两玻璃片间的夹角是多少？ （2）相邻两明条纹间距是多少？

（3）在这120mm内呈现多少明条纹？ 解：1）由几何关系可得两玻璃片间的夹角 ??d0.48??4?10?4rad L120?22）因为两相邻明条纹的光程差为? n?所以，有 lsi?

得 l??2sin??632.8?10?92?4?10?4?7.91?10?4m

3）由于劈尖的棱边处出现暗条纹，所以在120mm范围内呈现明条纹数为

L1120?10?3?0.5?15.22 k?(?1)???4l27.91?10即呈现152条明条纹。

18-7在的杨氏实验中，准单色光的的波长宽度为0.05nm，平均波长为500nm。在小孔S1处贴上多厚的玻璃片可使中央点P0附近的条纹消失？设玻璃的折射率n=1.5。 解：在小孔S1处贴上厚度为h的玻璃片后，P0点对应的光程差为

??(n?1)h

这一光程差如大于准单色光的相干长度，P0点处便观察不到条纹。

又由教材中公式18-43知，准单色光的相干长度为

?2 ?max???因此，P0点附近条纹消失的条件是

?2??(n?1)h?

??得到 h??2(n?1)???(500?10?6mm)20.5?0.05?10?6mm?10mm

?时的第k个暗环与用A18-8（1）用波长不同的光观察牛顿环时，观察到用?1?6000?时的第k+1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm。求用?时第k个暗环的?2?4500A1半径。

（2）又如在牛顿环中用波长为5000?的第5个明环与用波长为?2的第六个明环重合，求波长?2。

解：（1）牛顿环中第k级暗环半径为

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