2009年福建省龙岩市中考数学试卷(全解全析)(3)

（1）该校这次随机抽取了 名学生参加问卷调查； （2）确定统计表中a、b的值：a= ，b= ；

（3）在统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是 度；

（4）若该校共有2000名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生有 人． 考点：扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表。 专题：图表型。

分析：根据“一般”、“不知道”的总人数，与总频率可求得总人数；在根据频数、频率之间的关系，可得a b的值；根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比；可得（3）的答案；（4）用样本估计总体即可． 解答：解：

（1）∵“一般”、“不知道”的总人数为30+10=40，两种的总频率为0.20， ∴总人数为 （2）a=

=0.45，b=200×0.35=70； =200；

（3）“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是0.35×360°=126°；

（4）读表可得：态度为“非常喜欢”的学生占0.45；

则可估计全校态度为“非常喜欢”的学生有2000×0.45=900．

点评：本题考查学生对数据的分析、处理的能力；涉及扇形统计图的意义与特点，即可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系．

23、（2009?龙岩）阅读下列材料：

正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形． 数学老师给小明同学出了一道题目：在图1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB=AC=

，BC=

；

，BC=

，于是画出

小明同学的做法是：由勾股定理，得AB=AC=

线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．

（1）请你参考小明同学的做法，在图2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A′B′C′（A′点位置如图所示），使A′B′=A′C′=5，B′C′=

．（直接画出图形，

不写过程）；

（2）观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

考点：作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质。 专题：阅读型；网格型。

分析：（1）读懂题意，根据勾股定理作B'C'=

，再以B'为顶点作A'B'=5，连接A'C'即可；

（2）知道两三角形三边长度，求出对应比，可看出对应成比例，所以它们相似，进而证出：∠BAC=∠B'A'C'． 解答：解：

（1）正确画出△A'B'C'（画出其中一种情形即可）（6分）

（2）猜想：∠BAC=∠B'A'C'（8分） 证明：∵

，

；

∴，（10分）

∴△ABC∽△A'B'C'，

∴∠BAC=∠B'A'C'（13分）

点评：此题难度中等，考查相似三角形的判定和勾股定理的性质． 24、（2009?龙岩）永定土楼是世界文化遗产“福建土楼”的组成部分，是闽西的旅游胜地．“永定土楼”模型深受游客喜爱．图中折线（AB∥CD∥x轴）反映了某种规格土楼模型的单价y（元）与购买数量x（个）之间的函数关系． （1）求当10≤x≤20时，y与x的函数关系式； （2）已知某旅游团购买该种规格的土楼模型总金额为2625元，问该旅游团共购买这种土楼模型多少个？（总金额=数量×单价）

考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用。 专题：阅读型；图表型。 分析：（1）由图象可知，该直线过点（10，200），（20，150），利用待定系数法即可求出其解析式；

（2）因为购买该种规格的土楼模型，总金额为2625元，若单价为200元则个数应不大于10，总价应不超过2000元；

若单价为150元，则其个数应不少于20，总价应不小于3000元． 所以此次购买个数应不小于10且不大于20．

y与x之间应满足（1）中所求的关系，利用xy=2625．即可求出答案． 解答：解：（1）当10≤x≤20时，设y=kx+b（k≠0）（11分） 依题意，得

（3分）

解得（5分）

∴当10≤x≤20时，y=﹣5x+250；（6分）

（2）∵10×200＜2625＜20×150 ∴10＜x＜20（8分）

依题意，得xy=x（﹣5x+250）=2625（10分）

2

即x﹣50x+525=0

解得x1=15，x2=35（舍去） ∴只取x=15．（12分）

答：该旅游团共购买这种土楼模型15个．（13分）

点评：本题需仔细分析函数图象，利用待定系数法解决问题．

25、（2009?龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A?B?C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN： ①求证：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值． （2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

考点：菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形。 专题：动点型。 分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等． ②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由（1）可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．

（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论． 解答：证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN，

∴△ABN≌△ADN．

②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2∴点M到AD的距离为2∴AH=2．

∴DH=6+2=8．

在Rt△DMH中，tan∠MDH=由①知，∠MDH=∠ABN=α， ∴tanα=

；

，

．

．

（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形．

∴∠CAD=45°．

下面分三种情形：

（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； （Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC，

∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN． ∴AC=6

．

﹣6． ﹣6）=18﹣6

．

∴CM=CN=AC﹣AN=6故x=12﹣CM=12﹣（6

综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况．

26、（2009?龙岩）如图，抛物线y=x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD． （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

2

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