2017年五套数学竞赛题附答案(5)

A． B． C． D．

【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是

，再把这2个概率相加，即得所求．

【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：． 抓出白球，抓入白球，概率是故所求事件的概率为 故选C．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．

8．（2017?四川模拟）有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（ ） A．

B． C．

D．

=

，

=

，

【分析】求出基本事件总数和甲乙相邻照相包含的基本事件个数，由此能求出甲乙相邻照相的概率即可．

【解答】解：由题意得：p=故选：B．

==，

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

9．（2017?广州一模）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A． B．

C． D．

【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可． 【解答】解：由题意得：正面不能相邻， 即正反正反，反正反正，3反一正，全反，

其中3反一正中有反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，故共7中情况， 故P=

=

，

故选：B．

【点评】本题考查了列举法求事件的概率问题，是一道基础题．

10．（2017?安庆二模）我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（ ） A． B． C． D．

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．

【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率 列举出所有基本事件为：

（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）

（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1） （1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）， （1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3）， （1，5），（5，1），（2，6），（6，2）， （1，6），（6，1），共计36个．

记“两人想的数字相同或相差1”为事件B， 事件B包含的基本事件为：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1）， （1，5），（5，1），（1，6），（6，1），共计16个． ∴P=

=，

∴“甲乙心有灵犀”的概率为． 故选D．

【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏． 11．（2017?沈阳一模）复数

，且A+B=0，则m的值是（ ）

A． B． C．﹣ D．2

【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值． 【解答】解：因为

，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），

可得A﹣2B=2，2A+B=﹣m 解得 5（A+B）=﹣3m﹣2=0 所以 m=故选C．

【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题． 12．（2017?山西二模）若z=+A．﹣+

i

B．﹣3+3

i

i，且（x﹣z）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a2等于（ ）

i D．﹣3﹣3

i

C．6+3

【分析】根据二项式定理写出展开式的通项，要求的量是二项式的第三项的系数，根据x的次数求出r，代入式子求出结果，题目包含复数的运算，是一个综合题． 【解答】解：∵Tr+1=Cx4﹣r（﹣z）r， 由4﹣r=2得r=2， ∴a2=6×（﹣﹣=﹣3+3故选B

【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．

13．（2017?江西模拟）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z=

+bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（ ）

C．a+5b=0 D．3a+5b=0

i．

i）2

A．a﹣5b=0 B．3a﹣5b=0

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合已知得答案． 【解答】解：∵z=由题意，故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 14．（2017?甘肃一模）下面是关于复数z=

的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z

+bi=，则3a+5b=0．

．

的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（ ） A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4

【分析】利用复数的运算法则可得：复数z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假． 【解答】解：复数z=p1：|z|=

=

=1+i的四个命题：

≠2，因此是假命题；

p2：z2=（1+i）2=2i，是真命题； p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题； p4：z的虚部为1，是真命题． 其中真命题为p2，p4． 故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．（2017?河南模拟）欧拉（Leonhard Euler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e﹣4i表示的复数在复平面中位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），再利用诱导公式与三角函数求值即可得出．

【解答】解：e﹣4i=cos（﹣4）+isin（﹣4），∵cos（﹣4）=cos[π+（4﹣π）]=﹣cos（4﹣π）＜0，sin（﹣4）=﹣sin[π+（4﹣π）]=sin（4﹣π）＞0， ∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限． 故选：B．

【点评】本题考查了欧拉公式、诱导公式与三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16．（2012?陕西模拟）已知集合A={x|x2+y2=4}，B={x||x+则集合A与B的关系是（ ） A．A?B

B．B?A

C．A∩B=? D．A∪B=A

|＜2，i为虚数单位，x∈R}={x|

|＜2，i为虚数单位，x∈R}，

【分析】集合A={x|x2+y2=4}={x|﹣2≤x≤2}，B={x||x+﹣

}，由此能够求出结果．

【解答】解：∵集合A={x|x2+y2=4} ={x|x2=4﹣y2≤4} ={x|﹣2≤x≤2}， B={x||x+

|＜2，i为虚数单位，x∈R}

={x||x+i|＜2} ={x|={x|﹣∴B?A， 故选B．

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

17．（2010?福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，

＜2}

}，

必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（ ）

A．1 B．﹣1 C．0 D．i

【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．

【解答】解：由题意，可取a=1，b=﹣1，c2=﹣1，c=i，d=﹣i，或c=﹣i，d=i，所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1， 故选B．

【点评】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立． 18．（2010?广东校级模拟）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax+by=2，l2：x+2y=2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1+P2i所对应的点P与直线l2：x+2y=2的位置关系（ ） A．P在直线l2的右下方 B．P在直线l2的右上方 C．P在直线l2上

D．P在直线l2的左下方

【分析】据两直线相交斜率不等，求出a，b满足的条件，据古典概型概率公式求出P1，P2，据复数的集合意义求出点P坐标，判断出与直线的关系． 【解答】解：易知当且仅当

时两条直线只有一个交点，

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