令u?3k?1,则22?u?1??u?2???16?I?83u21?1。 u2111?16??11?9??????????? ?2?3?u2u2?3???u4?16??由于u?3k?1?1,故0?因此Imax?3当u?4时取到最大值，也即k??1。 综上所述，13，
【解析】证：（1）若a1为有理数，则?an?为周期数列 （2）对于任意的n,设an???PQ的最大值为3 MFy,?y,x??1,由已知条件，有且仅有下述一个等式成立 x2y?2x2y?2x?an?1?2an?2?,或an?1?2an?2?
xx??an与an?1有相同的分母（不进行约分）
（3）设a1?bq,?p,q??1,则an?n,bn为整数。由于an?2,n?1,2,3,?，因此 pp?2p?bn?2p
（4）若存在两个自然数k?1，使得ak?a1，则由（2）中得到的可得?an?从第k项开始是一个周期数列，周期为l?k
（5）由（3）可知对于任意的n,bn的值只有4??1（有限个），故总能找到k?l,使得bk?b1， 从而有ak?al
综上所述，如果a1为有理数，则从某项后?an?为周期数列
14，
【证明】：不妨设ai?ki?mod3?,bi?li?mod3?,ki,li??0,1,2?,i?1,2,3则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数?1，?2，?3??0,1,2?，使得
??递推公式以及a?n?2,n?1,2,3,?，?1k1??2k2??3k3??1l1??2l2??3l3?mod3??0?mod3?。??
?记k1l2?k2l1?c?mod3?,这里c??0,1,2?
情形（1）当c?0时,则k1?l1?0,或者k1,l1不全为零。 若k1?l1?0,则取?1?1，?2??3?0，有?式成立
若k1,l1不全为零，不妨设k1?0,则取?1??2，?2??k1,?3?0,且
????1k1??2k2??3k3?k2k1?k1k2?0?mod3?,即????l??l??l?kl?kl?0mod32112?112233情形（2）当c?1或2时，即c2?1?mod3?
??式
?记c?k2l3?k3l2??c1?mod3?,c?k3l1?k1l3??c2?mod3?,这里c1,c2??0,1,2? 令?1?c1,?2?c2,?3?1,则?1，?2，?3??0,1,2?且不全为零，且
?1k1??2k2??3k3?c1k1?c2k2?k3?c?k2l3?k3l2?k1?c?k3l1?k1l3?k2?k3?mod3?,?ck3?k2l1?k1l2?k2?k3?mod3?，?1?c2k3?mod3??0?mod3?,类似可以证明?1l1??2l2??3l3?0?mod3?
15，【解】问题等价于圆周上放置n个数，使得相邻的乘积之和为最小，最小值记为Tn 不妨设a1?n，则数字1必与它相邻。否则设aj?1,
???j?2,n?,则可将a2,a3,?，aj的数字改变为
aj,aj?1,?，a2上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为
a1aj?a2aj?1?a1a2?ajaj?1??a1?aj?1??aj?a2??0
于是可确定a2?1。再说明数字2也必与数字n相邻，即an?2
事实上，若aj?2,?j?n?，则交换aj,aj?1,?，aj为aj,aj?1,?，an。此时的目标改变值为 a1aj?anaj?1?a1an?ajaj?1?a1?aj?1aj?an?0
因此目标取到最小值时，a1?n,a2?n，an?2由此出发，依次可得a3?n?1,an?1?n?2。在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；
若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大队小，小对大放置。由此规律即得 a4?3,an?2?4,a5?n?3,an?3?n?4,?。下面用递推法计算Tn。
考虑n+2个数字，我们在Tn的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在2,n+1的中间
????插入n+2，1.即可得到Tn?2。
因此Tn?2?Tn???n?1???n?2??2?n?2??2?n?1? 其中Tn????a?1??aii?1ni?1?1??Tn?n?n?2?。由此可得
Tn?2?Tn?n2?4n?5
可以推出
?13125n?n?n?1,n?2m??626Tn??
115?n3?n2?n?1,n?2m?1?26?6
2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛
一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1.已知数列a0,a1,a2,?,an,?满足关系式?2?an?1??4?an??8,且a0?2,则2.圆锥曲线x?y?6x?2y?10?x?y?3?0的离心率是________.
3. 设f?x?是定义在R上的奇函数，f?1??2,当x?0时,f?x?是增函数，且对任意的x,y?R，都有
221的值是_________. ?ai?0inf?x?y??f?x??f?y?,则函数f?x?在[-3,-2]上的最大值是_______.
2k?n?12k?4. 设m,n均为正整数，则?cos??sin?_______.
mk?0nk?0m?15. 已知点P在圆C:x??y?2??221上运动，点Q在曲线y?ax2?a?0,?1?x?2?上运动，且PQ的4最大值为
9，则a=___________. 2?，?是一个三角形的三个内角，如果cos??cos??cos?取得最大值，则6. 已知?，sin??sin??sin?=_________.
7. 从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能性为__________.
8. 已知S是正整数集合的无穷子集，满足对任何a,b,c?S,abc?S，将S中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为?an?，且已知a1?2,a2031?24061,则a2017?______.
二，解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
x2y2??1不相交。过直线1上的点P作椭圆C9. （本小题满分16分）设直线1:y?x?b与椭圆C:259的切线PM,PN，切点分别为M,N，连结MN
(1)当点P在直线1上运动时，证明：直线MN恒过点Q; （2）当MN//1时，定点Q平分线段MN
10. （本小题满分20分）已知函数f?x??16x?7,数列?an?,?bn?满足a1?0,b1?0，
4x?4an?f?an?1?,bn?f?bn?1?,n?2,3?
（1）讨论数列?an?的单调性； （2）求证：bn?an?
11. （本小题满分20分）（1）求使方程x1?2x2?3x3???nxn?2017的最大正整数n
（2）用An表示方程?的所有正整数解x1,x2,?，xn构成的集合，当n为奇数时，我们称An中的每一个元素为方程证明：方程
?18n?3b1?a1,n?1,2,3?
??有正整数解x,x,?，x?12n??????的一个奇解；当n为偶数时，我们称A中的每一个元素方程??的一个偶解.
??n??中的所有奇解的个数与偶解的个数相等.
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