2017年五套数学竞赛题附答案(3)

参考答案

一，填空题

1，【答案】

11n?2?2?n?3 ?2i?0ain??【解析】

12111??，令bn??,则bn?2bn?1,b0?1,bn?2n an?1an2an211?2n?,an2

?ai?0n1i?1n?22?n?3 2??2,【答案】2 【解析】原式变形为

?x?3?2??y?1?2?x?y?3?3,即?x?3???y?1??222x?y?32，

所以动点?x,y?到定点（-3,1）的距离与它到直线x?y?3?0的距离之比为2，故此动点轨迹为双曲线，离心率为2 3,【答案】-4

【解析】因为f?x?是奇函数，且在?0，???上是增函数，所以f?x?在???，0?上也是增函数，则

f??3??f?x??f??2?. 又f?2??f?1??f?1??4,所以f??2???f?2???4

故函数f?x?在??3，?2?上的最大值为-4 4, 【答案】1或0 【解析】因为cosmn2k?2k?2k?2k??isin,k?0,1,?,m?1,cos?isin,k?0,1,?,n?1分别是mmnn多项式X?1与X?1的根，因此当m>1,n>1时由根与系数的关系可得：

2k?m?12k?cos?isin?0,??mmk?0k?0m?1n?12k?2k?cos?isin?0 ??nnk?0k?0n?12k?所以?cos?0,mk?0m?1m?12k?2k?n?12k? sin?0,故：cos??sin?0，??nmnk?0k?0k?0n?12k?n?12k?而当m?1时?cos??sin?1

mnk?0k?0m?15, 【答案】

3?1 2

【解析】连接QC并延长交圆于点D，则PQ?QC?CP?QC?CD?QD,所以PQ的最大值等于CP的最大值与圆的半径之和，由于

f?x??CP?x2?ax2?2?a2x4??4a?1?x2?4,?1?x?2

2??2f??1??5?4a?a2?16a2?16a?8?f??2?,因此x??2时，CP取得最大值，于是：

16a2?16a?8?33 2913?1 ??4,2a2?2a?1?0,a?2226, 【答案】

【解析】若?，?，?中至少有两个不等，不妨设???，则

cos??cos??cos??2cos2cos???2cos???2?cos??????2???2?2cos???21?????33?1???2cos?1???.2?2?22

因此当且仅当??????7,【答案】

?3时，cos??cos??cos?取得最大值，故：sin??sin??sin??33 21 48 【解析】方程x1?x2?x3?x4?10,0?x1?x2?x3?x4?9的整数解有且仅有

?x1,x2,x3,x4???0,1,2,7?,?0,1,3,6?,?0,1,4,5?,?0,2,3,5?,?1,2,3,4?,因此符合条件的四位数恰有：

1C951，故所求概率为2? 4?C?3!?4!?96（个）

C9648138，【答案】24033

【解析】由题意对任何a,b,c?S,abc?S可知：

2?4n?1?22n?1,1?n?2031

都是数列?an?中的项，所以a2017?2?42016?24033

二．解答题

9.【证明】：（1）设P?x0,y0?,M?x1,y1?,N?x2,y2?,则椭圆过点M,N的切线方程分别为

x1xy1yxxyy??1,2?2?1 259259因为两切线都过点P，则有

x1x0y1y0yyxx??1,22?20?1 259259xxyy这表明M,N均在直线0?0?1 ①上.由两点决定一条直线知，式①都是直线MN的方程，其中?x0,y0?259满足直线1的方程.

当点P在直线1上运动时，可理解为x0取遍一切实数，相应的y0为

y0?x0?b

代入①消去y0得x0xx0?b?y?1?0 ② 259对一切x0?R恒成立，变形可得

?xy??bx0??????259??9?xy??0??259?y?1??0,对一切x0?R恒成立，故有?

b??y?1?0??9由此解得直线MN恒过定点Q??（2）当MN//1时，由式②知??259?,?， bb??x0x0?b25??b 解得x0??b 2593434代入②，得此时MN的方程为y?x? ③

b将此方程与椭圆方程联立，消去y得

34268342x?x?2?1?0 25bb由此可得，此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点Q???259?,?的横坐标，即 ?bb?681125x??x1?x2???b??

2234b25代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点Q???259?,?的纵坐标，即 ?bb?y??25349?? bbb这就是说，点Q???259?,?的平分线段MN ?bb?16?x?1??991?4??,则

4?x?1?4x?110.【解】（1）f?x???91??91?????an?1?an??4????4???4an?1??4an?1?1???91?an?an?1???4?an?1??an?1?1?1?9??an?1?an?2?????24??????a?1a?1a?1??nn?1n?2?9???????4?n?12

?1?a2?a1?22?an?1??an?1?1???a2?1??a1?1?所以an?1?an?a2?a1,i.e.,16a1?7?a1。解得

4a1?40?a1?

7 2777时，数列?an?单调上述；所以当a1?时，数列an?,n?1,2,3,?； 222所以当0?a1?所以当a1?7时，数列?an?单调下降 2证明：（2）因为f?x?单调上升，计算得f?0??由（1）知

7,4?7?35f???,?4?11?35?637 f????11?184an?bn?91?an?1?bn?1?

4?an?1?1??bn?1?1?所以：（i）,当0?a1?77637,0?b1?时，a4?f3?a1??f3?0??,故当n?4时 2218463776377?a4?an?,同理，?b4?bn?。故 18421842911an?1?bn?1?an?1?bn?14?637??637?8?1???1???184??184?1191???n?4a4?b4?n?4a3?b3

3535884??????1???1??11??11?19911?n?43a2?b2?n?3a1?b1844?7??7?8??1???1??4??4?77,?b1时，由（1）得：（ii），当0?a1? 227?bn?1?bn 2an?bn?所以

911an?1?bn?1?an?1?bn?14?35??7?8??1???1? ?11??2?11???n?3a3?b3?n?2a1?b1,?n?288an?bn?（iii）,最后，当a1?77,b1?时，我们有 2277?an?1?an,?bn?1?bn 22所以

an?bn?911an?1?bn?1?an?1?bn?14?7??7?8??1???1? ?2??2????1a?b1n-118n?n?1? 211. 【解析】

解：（1）因为2017?x1?2x2?3x3???nxn?1?2???n?所以n?63.当n?63时，x1?2,x2?x3???x63?1为方程n=63

??的一组正整数解，故所求最大值为

?证明：（2）?x??x1,x2,?，xn??An,1?n?63,令a??a1,a2,?，an?与之对应，其中

ai?xi?xi?1???xn,i?1,2,?，n,

则a1?a2???an?1,且a1?a2???an?2017令

? Bn???a1,a2,?，an?丨a1?a2???an?1,a1?a2?a??an?2017

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