专题3.3 导数的综合应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲(5)

【解析】试题分析：（I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a的最小值，

aexaex?lnx?0，令F?x???lnx，求出由此得到a的取值范围；（II）将原不等式f?x??0，转化为xxF?x?的导数，对x分成0x?1,x1两类，讨论函数的最小值，由此证得F?x??0，由此证得f?x??0.

试题解析：

（Ⅰ）f??x??aex??1?lnx?， f?x?是?0,???上的增函数等价于f??x??0恒成立.

令f??x??0，得a?1?lnxex，令g?x??1?lnxex（x?0）.以下只需求g?x?的最大值. 求导得g??x??e?x??1?x?1?lnx???， 令h?x??1x?1?lnx， h??x???11x2?x?0， h?x?是?0,???上的减函数， 又h?1??0，故1是h?x?的唯一零点，

当x??0,1?， h?x??0， g??x??0， g?x?递增；当x??1,???， h?x??0， g??x??0，减；

故当x?1时， g?x?取得极大值且为最大值g?1??1e， 所以a?1e，即a的取值范围是??1??e,????. （Ⅱ）f?x??0? aexx?lnx?0. 令F?x??aexx?lnx（x?0），以下证明当a?2e2时， F?x?的最小值大于0.

求导得F??x??a?x?1?ex?11xx ?x2??a?x?1?ex2?x??. ①当0?x?1时， F??x??0， F?x??F?1? ?ae?0；

②当x?1时， F??x??a?x?1?x2 ???ex?x?，令Gx?ex?x， ?a?x?1??????a?x?1? 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

g?x?递

则G??x??e ?x1a?x?1?2ae2?22?0， ?0，又G?2??e? ?aa2mmae22m?e，即1?m?2取m??1,2?且使，则G?m??e? ?e2?e2?0，

ae?1a?m?1?a?m?1?因为G?m?G?2??0，故G?x?存在唯一零点x0??1,2?，

aex0即F?x?有唯一的极值点且为极小值点x0??1,2?，又F?x0???lnx0，

x0且G?x0??e0?xx0x01?0，即ex0?，故F?x0???lnx0，

a?x0?1?a?x0?1?x0?11?1?0，故F?x0?是?1,2?上的减函数. x0因为F??x0????x0?1?2所以F?x0??F?2?? 1?ln2?0，所以F?x??0. 综上，当a?2时，总有f?x??0. e2【变式二】已知f(x)?xlnx,g(x)??x2?ax?3. （1）求函数f(x)在[t,t?2)(t?0)上的最小值；

（2）对一切x?(0,??),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切x?(0,??)，都有lnx＞12?成立. exex【答案】（1）f(x)min1?1?,0?t?.??ee?? ；（2）a?h(x)min?4；（3）证明见解析. ?tlnt,t?1?e?【解析】（1）f?(x)?lnx?1，

11ee1'①t?2?，f(x)?0，函数f(x)单调递减，没有最小值；

e11②0?t??t?2，即0?t?时，

ee当x?(0,),f?(x)?0,f(x)单调递减，当x?(,??),f?(x)?0,f(x)单调递增

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1； e11③?t?t?2，即t?时，f(x)在?t,t?2?上单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt；

ee f(x)min?f()??1e所以f(x)min1?1?,0?t?.??ee?? ?tlnt,t?1?e?23， x(x?3)(x?1)3设h(x)?2lnx?x?(x?0)，则h?(x)?， 2xx（2）2xlnx??x?ax?3，则a?2lnx?x?① x?(0,1),h?(x)?0,h(x)单调递减， ② x?(1,??),h?(x)?0,h(x)单调递增， 所以h(x)min?h(1)?4，对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，所以a?h(x)min?4；

【易错试题常警惕】

易错典例：已知函数f(x)?12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R). 2（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)?x2?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围． 易错分析：（Ⅰ）忽视定义域致误；（Ⅱ）对全称量词和特称量词理解不深刻致误． 正确解析：f?(x)?ax?(2a?1)?（Ⅰ）f?(x)?2(x?0). x(ax?1)(x?2)(x?0). ①当a?0时，x?0，ax?1?0， 在区间(0,2)上，f?(x)?0；

x在区间(2,??)上f?(x)?0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??).

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②当0?a?1111

时，?2， 在区间(0,2)和(,??)上，f?(x)?0；在区间(2,)上f?(x)?0，

aa2a1a1a

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(,??)，单调递减区间是(2,).

1(x?2)2③当a?时，f?(x)?， 故f(x)的单调递增区间是(0,??).

22x④当a?11时，0??2， 2a1a1a在区间(0,)和(2,??)上，f?(x)?0；在区间(,2)上f?(x)?0， 故f(x)的单调递增区间是(0,)和(2,??)，单调递减区间是(,2). （Ⅱ）由已知，在(0,2]上有f(x)max?g(x)max. 由已知，g(x)max?0，由（Ⅱ）可知， ①当a?1a1a1时，f(x)在(0,2]上单调递增， 2故f(x)max?f(2)?2a?2(2a?1)?2ln2??2a?2?2ln2， 所以，?2a?2?2ln2?0，解得a?ln2?1， 故ln2?1?a?②当a?1. 2111

时，f(x)在(0,]上单调递增，在[,2]上单调递减， 2aa

1a1?2lna. 2a故f(x)max?f()??2?由a?111可知lna?ln?ln??1，2lna??2，?2lna?2， 22e所以，?2?2lna?0，f(x)max?0， 综上所述，a?ln2?1.

温馨提醒：(1)研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2) 任意x1?(0,2]，指的是区间内的任意一个自变量；存在x2?(0,2]，指的是区间内存在一个自变量，故本题是恒成立问题和有解问题的组合.

【学科素养提升之思想方法篇】

——————化抽象为具体——数形结合思想

数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为

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两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.学*科网

在解答导数问题中，主要存在两类问题，一是“有图考图”，二是 “无图考图”，如： 【典例1】已知a是常数，函数f(x)?x131x?(1?a)x2?ax?2的导函数y?f'(x)的图像如图所示，则32函数g(x)?|a?2|的图像可能是（ ）

【答案】D 【解析】

由已知，f'(x)?x?(1?a)x?a，由图象可知，对称轴x??21?a?(0,1)，解得1?a?3，则函数2y?ax?2的图象如图，则函数g(x)?|ax?2|的图象为D.

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