专题3.3 导数的综合应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲(2)

（2）由（1）知 f?x??x?x?xlnx，f'?x??2x?2?lnx。

2设h?x??2x?2?lnx，则h'?x??2?1。 x当x??0,? 时，h'?x??0 ；当x????1?2??1?,??? 时，h'?x??0 ， ?2?所以h?x? 在?0,? 单调递减，在???1?2??1?,??? 单调递增。 ?2? 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

【考点深度剖析】

导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与函数的零点、不等式恒成立、不等式的证明与求解等结合考查．学科网

【重点难点突破】

考点1 利用导数研究函数的图象与性质

【1-1】【2017河南开封10月月考】函数y=4cosx-e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是

A B C D

【答案】A

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【解析】函数为y?4cosx?e偶函数，图象关于y轴对称，排除B、D，若x?0时，

xy?4cosx?ex,y???4sinx?ex??(4sinx?ex)，当0?x??,sinx?0,ex?0，当x??时，

ex?e?，?4?4sinx?4，4sinx?ex?0，则y??0，函数在(0,??)上为减函数，选A.

【1-2】【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数y?f?(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是

【答案】D

【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．

【领悟技法】

导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方，则x0为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数f'(x)的正负，得出原函数f(x)的单调区间．

【触类旁通】

【变式一】【2016江西新余二模】将函数g(x)?2cos(x?的2倍（纵坐标不变）后得到h(x)的图象，设f(x)??)cos(x?)图象上各点的横坐标伸长为原来

44?12x?h(x)，则f'(x)的图象大致为（ ） 4

【答案】A

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【解析】g(x)?2cos(x??????????)cos(x?)?2cos??(x?)?cos(x?)?2sin(x?)cos(x?) 444?444?2121x?cosx,f'(x)?x?sinx,为奇函数,排除B、D,又42?cos2x,h(x)?cosx,所以f(x)??1?1f'()????0,参照图象,选A. 6262【变式二】【2017·丽水模拟】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【答案】D

【解析】由题图，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当

x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

考点2 与函数零点有关的参数范围问题

【2-1】【2017课标3，理11】已知函数f(x)?x?2x?a(eA．?2x?1?e?x?1)有唯一零点，则a=

D．1

1 2 B．

1 3 C．

1 2

【答案】C 【解析】

2x?1?x?1试题分析：函数的零点满足x?2x??ae?e，

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设g?x??ex?1?e?x?1，则g??x??ex?1?e?x?1?ex?1?1ex?1?e2?x?1??1ex?1，

当g??x??0时，x?1，当x?1时，g??x??0，函数g?x? 单调递减， 当x?1时，g??x??0，函数g?x? 单调递增， 当x?1时，函数取得最小值g?1??2，

设h?x??x?2x ，当x?1时，函数取得最小值?1 ，

2

【2-2】【2017课标1，理21】已知函数f(x)?ae2x?(a?2)ex?x. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【解析】

试题分析：（1）讨论f(x)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a按a?0，

a?0进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若a?0，f(x)至多有一个零点.若a?0，当x??lna1?lna，根据a?1，a?(1,??)，a?(0,1)进行讨论，a3可知当a?(0,1)有2个零点，设正整数n0满足n0?ln(?1)，则

a3因此f(x)在(?lna,??)有f(n0)?en0(aen0?a?2)?n0?en0?n0?2n0?n0?0.由于ln(?1)??lna，

a时，f(x)取得最小值，求出最小值f(?lna)?1?一个零点.所以a的取值范围为(0,1).

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