专题3.3 导数的综合应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲(4)

2x2【变式二】【2017福建三明5月质检】已知函数f?x??eax?2x?1， a?R．

??（Ⅰ）当a?4时，求证：过点P?1,0?有三条直线与曲线y?f?x?相切； （Ⅱ）当x?0时， f?x??1?0，求实数a的取值范围． 【答案】（I）详见解析；（II）?2,???. 【解析】

2x2解法一：（Ⅰ）当a?4时， f?x??e4x?2x?1，

???f??x??e2x·24x2?2x?1? e2x?8x?2??2e2x4x2?6x

设直线与曲线y?f?x?相切，其切点为x0,f?x0?，

则曲线y?f?x?在点x0,f?x0?处的切线方程为： y?f?x0??f??x0??x?x0?， 因为切线过点P?1,0?，所以?f?x0??f??x0??1?x0?， 即?e∵e2x0?????????4x20?2x0?1? 2e2x04x02?6x0?1?x0?，

???2x0?0，∴8x03?14x0?1?0，

3设g?x??8x?14x?1，

∵g??2???35?0， g?0??1?0， g?1???5?0， g?2??37?0 ∴g?x??0在三个区间??2,0?,?0,1?,?1,2?上至少各有一个根

3又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程8x?14x?1?0恰有三个根，

故过点P?1,0?有三条直线与曲线y?f?x?相切．

2x2（Ⅱ）∵当x?0时， f?x??1?0，即当x?0时， eax?2x?1?0

??2∴当x?0时， ax?2x?1?1?0， 2xe2设h?x??ax?2x?1?111?2?，则hx?2ax?2??2ax?1????e2xe2xe2x???， ?设m?x??ax?1?11?mx?a?，则． ??e2xe2x 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

（2）当a??2时，令m??x??0，得a?21?2??0，∴x?1n????0， e2x2?a?故当x??1n???1?2a?2x2??2???时， mx?e???0， ,0????2x?ea?a????∴m?x??ax?1??1?2??1在1n???,0?上单调递减， e2x?2?a????1?2?2???,0?时， m?x??0， a???又∵m?0??0，∴当x??1n??从而当x??1n???1?2?2???,0?时， h??x??0， ?a???1?2??1在1n???,0?上单调递增，又∵h?0??0， ?2xe?2?a??2∴h?x??ax?2x?1?从而当x??1n???1?2?1?21?2??2ax?2x?1??0 时， ，即,0hx?0????2xe?a??于是当x??1n???2???,0?时， f?x??1?0， ?a??综合得a的取值范围为?2,???．

2x2解法二：（Ⅰ）当a?4时， f?x??e4x?2x?1，

???f??x??e2x·24x2?2x?1? e2x?8x?2??2e2x4x2?6x，

???? 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

设直线与曲线y?f?x?相切，其切点为x0,f?x0?，

则曲线y?f?x?在点x0,f?x0?处的切线方程为y?f?x0??f??x0??x?x0?， 因为切线过点P?1,0?，所以?f?x0??f??x0??1?x0?， 即?e∵e2x0?????4x20?2x0?1? 2e2x04x02?6x0?1?x0?，

???2x0?0，∴8x03?14x0?1?0

32设g?x??8x?14x?1，则g??x??24x?14，令g??x??0得x??当x变化时， g?x?， g??x?变化情况如下表：

7 12x ?7???,? ????12??+ 7? 120 极大值 ?77??,??1212?? ??- 0 7 12?7?,?????12? ??+ 小值↗ g??x? 极↘ g?x? ↗ 287?1 312287??1 3123∴8x?14x?1?0恰有三个根，

故过点P?1,0?有三条直线与曲线y?f?x?相切． （Ⅱ）同解法一．

考点4利用导数证明、解不等式问题

【4-1】若f(x)的定义域为R，f?(x)?2恒成立，f(?1)?2，则f(x)?2x?4解集为（ ）

，??) C．(??,?1) D．(??,??) A．(?1,1) B．(?1【答案】B

【解析】构造函数F(x)?f(x)?2x，则F'(x)?f'(x)?2?0，所以函数F(x)在定义域上单调递增，又

F(?1)?f(?1)?2?4，所以f(x)?2x?4解集为(?1，??).

名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

【4-2】【2017课标3，理21】已知函数f?x??x?1?alnx . （1）若f?x??0 ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n?1?【答案】(1)a?1 ； (2)3 【解析】

试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是f?x?在x??0，列方程解得a?1 ； +??的唯一最小值点，(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得?1???1??1?1????2??22?1??1??m ，求m的最小值. ?n??2???1??1?1????2??22?1??1??e，结合?n?2??1??1??1??1?1?1??2可知实数m 的最小值为3 ???2??3?222?????? 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

【领悟技法】

1.利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.

2.利用导数解不等式的基本方法是构造函数，通过研究函数的单调性 ，从而解不等式的方法.

【触类旁通】

【变式一】【2017广东佛山二模】设函数f?x??ae?xlnx，其中a?R，

xe是自然对数的底数.

（Ⅰ）若f?x?是?0,???上的增函数，求a的取值范围； （Ⅱ）若a?2，证明： f?x??0. e2【答案】（Ⅰ）?,???;（Ⅱ）见解析.

名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！

?1?e??

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库专题3.3 导数的综合应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲(4)在线全文阅读。