大学物理A1总复习资料(8)

答案：

Qq4??0r

30．如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电势为__________ _______。 答案： U?Q

4??0R

三、计算题

1．质点在oxy平面内运动，其运动方程为r???(10?2t2)?（1）质点的轨迹?2tij，式中r的单位为m，t的单位为s。求：

方程；（2）质点在t=0到t=1s时间内的位移； （3）t=1s时质点的速度；（4）t=1s时质点的加速度。

解答及评分标准：

x?2t,y?10?2t2,（1）轨迹方程：

x2y?10?2。 （2分）

（2）位移：?r?????2??r1?r0?2ij(m)。 （2分）

??dr???4t???4??2ij，将t=1s代入得，v?2i（3）速度：v?j(m/s)。 （4分）

dt??dv??4?j(m/s2)。 （4分） （4）加速度：a?dt

2．一人自原点出发，25 s内向东走30 m，又10 s内向南走10 m，再15 s内向正西北走18 m。求在这50 s内， (1) 平均速度的大小和方向； (2) 平均速率的大小。

解答及评分标准：

OC?OA?AB?BC

???? ?30i?(?10j)?18(?cos45?i)?sin45?j)

(1)

???17.27i?2.73j

y北 C 西 O 南 |OC|=17.48 m，方向??=8.98°(东偏北) （3分）

?v??r/?t?OC/?t?0.35 m/s （3分）

方向东偏北8.98° （3分）

??????A B x 东 (2) (路程)?S??30?10?18?m=58m,

v??S/?t?1.16 m/s （3分）

3．一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式。

解答及评分标准：

dv /dt?dv

4t ，

t （2分）

?4t dt，

0?v0dv??4tdt

v?2t2 （3分）

v?

dx /d t?2t2 （3分）

xx0?dx??2t2dt

0t x?2t3 /3+x0 (SI) （4分）

4．有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) 。试求： （1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内的路程。 解答及评分标准：

(1)

v??x/?t??0.5 m/s （3分）

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2 （3分） v(2) =-6 m/s （2分） (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m （4分）

5．一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为 a＝2＋6 x2 (SI) 如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

解答及评分标准：

设质点在x处的速度为v，

a?dvdvdx???2?6x2 （4分） dtdxdtv

?vdv???2?6x?dx （4分）

200x

6．质点在Oxy平面内运动,其加速度为a v?2x?x?3?12 （4分）

???(m/s).求：且初速度为v0?2i（1）??6t?j(m/s2),t=0时质点位于坐标原点，

质点在任一时刻的速度；（2）质点的运动方程；（3）质点的轨迹方程。

解答及评分标准：

（1）质点在任一时刻的速度为

t????3t2?v?v0??(?6t?j)dt?2ij(m/s)。 （4分）

0（2）质点的运动学方程为：

t????3t2???t3?r?r0??(2ij)dt?2tij(m)。 （4分）

0（3）因

x?2ty??t，则质点的轨迹方程为3xy??()3。 （4分）

27．一质点作半径为R?10m的圆周运动，其角位置随时间的变化规律为??12?6t?2t2(rad)，求t?2s时：（1）

质点的角速度、角加速度、线速度大小；（2）切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。

解答及评分标准： （1）质点的角速度??d???6?4t，?2?2rad/s； （2分） dt角加速度?线速度?2?d??4(rad/s2)； （2分） dt； （2分） ??2R?20m/s（1分）

（2）切向加速度at法向加速度an?R??40(m/s2)； （2分）

2?R?2?40(m/s2)； （2分）

总加速度大小a

21/2?(at2?an)?402(m/s2)。 （2分）

8． (1) 对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径r、角速度??和单位矢量i、的位置矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示； （2）由(1)导出速度

??j表示其t时刻

??v与加速度 a的矢量表示式；

（3）试证加速度指向圆心。

解答及评分标准：

(3)

?????r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j （3分）

????dr??r?sin?t i?r?cos?t j （3分） (2) v?dt????dv22a???r?cos?t i?r?sin?t j （3分）

dt????a???2?rcos?t i?rsin?t j????2 r

??? 这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心 （3分）

(1)? ?

9.由楼窗口以水平初速度v0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿v0方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：

(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。 解答及评分标准：

(1)

??x?v0t , y?12gt 2 O 轨迹方程是：?

y?122xg/v0 （4分） 2?v0 ?an y x (2) v x = v 0，v y = g t，速度大小为：

222v?vx?vy?v0?g2t2???at

?g 方向为：与x轴夹角 ??= tg?1( gt /v 0) （3分）

2at?dv/dt?g2t/v0?g2t2与v同向． （3分） 方向与at垂直． （2分）

?an?g2?at2??1/22?v0g/v0?g2t2?10.一质点具有恒定加速度 度和位置矢量。

解答及评分标准：

?????2

t?0a?6i?4j m/s，在 时，其速度为零，位置矢量r0?10im。求任意时刻的速

由

??dva?dtv0 （2分）

t得

??dv??adt （2分）

0???v?6ti?4tj m/s （2分）

??dr由 v? （2分）

dt?r?t?得 ?dr?vdt （2分）

??得速度

r00得位置矢量

???r?(10?3t2)i?2t2j m （2分）

?1.5kg的物体，用一根长为l?1.25m的细绳悬挂在

天花板上，今有体时子弹的速

11. 质量为M一质量为m度大小v?10g的子弹以v0?500m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物

l?30m/s，设穿透时间极短，求：

?v0?vM(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量。

解答及评分标准：

m（1）因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置。因此，作用于子弹、物体系统上的外力均在铅直方向，故系统在水平方向动量守恒。令子弹穿出时物体的水平速度为Vˊ 有 mv0?mv?Mv? （3分）

v'?m?v0?v?M?3.13ms （2分） T?Mg?Mv2l?26.5N （2分）

（2）由动量定理知

?f?t?mv?mv0 （设v0方向为正方向） （3分）

=-4.7 N?s （2分）

12.已知一质点的质量m?1kg，其运动的位置矢量为

?6π?π?r??(sin(t)i?cos(t)j) （SI制）

π22试求：⑴第4秒时，质点的动量；⑵前4秒内，质点受到合力的冲量；⑶据⑵的计算，是否说明在⑵所指的过程中，质点的动量是守恒的？

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