小波变换课件 第4章 小波变换的实现技术 - 图文(5)

q(z)?a(z)?b(z),r(z)?b(z)或r(z)?0。两个Laurent多项式的商和余数不是唯一

的。

例如，对于a(z)?z?1?6?z，b(z)?4?4z，则对于以下几种情况： 1）q(z)?1/4(z?1?5)，r(z)??4z。 2）q(z)?1/4(z?1?1)，r(z)?4 3）q(z)?1/4(5z?1?1)，r(z)??4z?1

都满足a(z)?b(z)q(z)?r(z)，且q(z)?a(z)?b(z),r(z)?b(z)。

? Euclidean算法如下：

利用带余数除法，可以给出Laurent多项式的Euclidean算法。

对于任何两个Laurent多项式a(z)和b(z)，其中，b(z)?0，且a(z)?b(z)。设

a0(z)=a(z)，b0(z)=b(z)，从i?0开始进行如下的递归运算：

ai?1(z)?bi(z) bi?1(z)?ai(z)%bi(z)

其中，%是表示取“余数”运算。则an(z)?gcd(a(z),b(z))，且an(z)是一个Laurent多项式，下标n是使bn(z)?0的最小数，“gcd()”表示取最大公因子。

假设bi?1(z)?bi(z)，则存在m使得bm(z)=0，因此，算法在n?m?1步骤结束，其中，n?b(z)?1。若记qi?1(z)?ai(z)/bi(z)，其中，“/“表示取商运算，则有

1?an(z)???=??0?i?n?0??1??a(z)???? ?qi(z)??b(z)?1这等价于

n?a(z)???qi(z)=????b(z)??i?1?11??an(z)???? 0??0?显然，an(z)同时整除a(z)和b(z)。如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互为素数的。

[例4.3] a(z)?z?1?6?z，b(z)?4?4z，则由第一步带余除法，可得

a(z)?4?4zb(z)?4q1(z)?1/4z?1 ?1/4下一步带余数除法，给出

a(z)?4b2(z)?0q2(z)?1?z

所以，a(z)和b(z)是互为素数的，且

?z?1?6?z??1/4z?1?1/4????1?4?4z??1??1?z??0??11??4???? 0??0?辗转除法的步数为n?2?b(z)?1。

4.3.3 多相位矩阵的因子分解

下面的定理奠定了小波提升实现的基础。 ?

定理 4.1 若p的行列式等于1，既detp(z)?1，则总存在Laurent多项式ui(z)和

pi(z)(1?i?m)及非零常数k，使得

mp(z)??i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k??1??00?? （4-10） 1/k?其中，pm(z)=0.

定理证明略。主要介绍提升因子ui(z)和pi(z)(1?i?m)的计算方法。 首先，对he(z)和ho(z)应用Euclidean算法，可得到

?he(z)?????ho(z)?m?1?i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k???? 1??0?记

?he(z)p(z)???ho(z)0ge(z)???0go(z)?0m?i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k??1??00?? 1/k?注意到

?1??02ks(z)??k??1??00??k?=?1/k??0?1?0ks(z)??k?=?1/k??00??1/k??1??0s(z)?? 1?则由式（4-10）可得，p(z)?p(z)?0s(z)?2s(z)?u(z)/k，其中。 m?1?m?1若记Q(z)??i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??a(z)?=?1??kb(z)0c(z)/k??，则

d(z)/k??k??00??ka(z)?=?1/k??kb(z)c(z)/k??

d(z)/k??he(z)p(z)???ho(z)0ge(z)???Q(z)0go(z)?于是，有

?1??0s(z)???1??p0(z)??1?ka(z)p(z)=??kb(z)c(z)/k??he(z)??d(z)/k??ho(z)ge(z)?? go(z)?c(z)?dzh(z)?h0(z)e??kk????kb(z)he(z)?kh0(z)a(z)?g0(z)? kk??kb(z)ge(z)?kg0(z)a(z)??ge(z)?d(z)c(z)所以，

s(z)?d(z)ge(z)?c(z)g0(z)k?go(z)ge(z)?ge(z)g0(z)?000ge(z)g0(z)ge(z)g(z)0o0

um(z)?ks(z)?k22ge(z)go(z)ge(z)g(z)0o

于是，有

? 算法4.1 有限冲激响应滤波器FIR多相位矩阵的提升分解算法 第1步 ，使用Euclidean算法得到

?he(z)????h(z)?o?m?1?i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k???? 1??0?第2步，计算

p(z)??0he(z)ho(z)ge(z)go(z)00m?1??i?1?1??0ui(z)??1??1??pi(z)0??k??1??00?? 1/k?第3步，计算um(z)

um(z)?k2ge(z)go(z)ge(z)go(z)00

[例4.4] Haar小波滤波器的多相位矩阵分解。

?=h??h,h???1,1?，可得 由h??01?22??1h(z)?h0?h1z?1?12?1?z?，g(z)?zh(?z)???1?112?12z?1

he(z)?12，ho(z)?12，ge(z)??12，go(z)?12

所以，Haar小波滤波器的多相位矩阵为

?1?2p(z)???1?2??1??2?，且detp(z)=1 1?2??令a0(z)?he(z)，b0(z)?ho(z)，a1(z)?b0(z)?12 由a(z)??1?b0(z)?2，得

2，q1(z)?a0(z)/b0(z)??1，a2(z)?b1(z)?2

b1(z)?a0(z)°(z)?因a1(z)?12?b1(z)?0

12故b2(z)?a1(z)±(z)?0，q2(z)??he(z)??q1(z)故????h(z)?o??10，k?a2(z)?2 ?1??q2(z)0??k???? 1??0?0?? 1/k?1??q2(z)??0??11??k????=?0??0?0??1??0q1(z)??1?p(z)??he(z)ho(z)ge(z)?1?0go(z)?0u1(z)??1??1??p1(z)0??k??1??0其中，u1(z)?q1(z)，p1(z)?q2(z)。 ?1??0???ge(z)?2? 得： ?0?=?1??go(z)???2????1212?1故 p(z)???0所以， u2(z)?k2ge(z)gez()?20go(z)go(z)0?1212=0

?1?1??1?1???2?0??1????2??0??0??1? 2??

4.3.4 提升算法

由（4-10）及式（4-9）可推出，

m?(z)?p?i?11???1??ui(z)0??k?0??1?1?1??0?pi(z)??1??1?1/k??00? ? （4-11）

k??1/k?(z)??p?0?1T?i?m1???1?p(z)i?0??1??1??0?ui(z)?? (4-12) 1?根据式（4-12）修改图4-11中小波分解部分，可得到基于提升的正向小波变换的流程图（4-13）.

类似地，利用式（4-10）修改图4-11中小波重构部分，可得到基于提升的逆向小波变换的流程图（4-14）

? 提升算法的实现

1. ui(z)?0时提升算法的实现

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