小波变换课件 第4章 小波变换的实现技术 - 图文(4)

从而（z1/2和?z1/2表示了二元下采样）

a(z)?1?(z?1/2)x(z1/2)?h?(?z?1/2)x(?z1/2)? （图3-3）的结果 ?h?2?又y0(z)?a(z2)h(z)，故（z2反映了两个元素之间插入一个零）

y0(z)?1??11??1h(z)h(z)x(z)?h(?z)h(z)x(?z) 221212类似地，有

y1(z)??(z?1)g(z)x(z)?g?(?z?1)g(z)x(?z) g因此，

y(z)?y0(z)?y1(z)

1??11??1?(z?1)g(z)]x(z)?[h?(?z?1)g(z)]x(?z) [h(z)h(z)?g(?z)h(z)?g22?????????????由x(-z)引起的混叠?x(z)之前第1个求和项应等于1，是确保y(z)?x(z)的一个条件；必须消除由x(?z)引起

的混叠，既第2个求和项应消除。于是，滤波器组对任何输入信号实现精确重构，下式是二通道滤波器组完全重构条件，既PR (Perfect Reconstruction)条件。

??1??(z?1)g(z)?2?h(z)h(z)?g （3-34） ??1?1??(?z)g(z)?0??h(?z)h(z)?g? PR条件的矩阵形式：

?(z?1)?h??1?h(?z)?(z?1)??h(z)??2?g???? ?1??g(z)?g(?z)????0??(z?1)?h当矩阵??1h(?z)??(z?1)?g?(z?1)g?(?z?1)g?(?z?1)?h?(z?1)?0时，综合的行列式?(z)?h?1??(?z)?g?、g?确定。于是， 滤波器h、g完全由分析滤波器h?h(z)?2????g(z)??(z)?g?(?z?1)??? ?1????h(?z)??所以，

h(z)?2?(z)?(?z?1)，g(z)?g?(?z?1)? （3-35） ??h??(z)?2将式（3-35）代入式（3-34），并注意到?(z)???(?z)，可得

?(z?1)?h(?z)h?(?z?1)?2 （3-36） h(z)h表明，当?(z)?0时，完全重构条件等价于重构条件式（3-35）和式（3-36）同时成立。 ?

?,h,g?,g的完全重构条件： 有限长度滤波器h?1对于有限长滤波器，根据定义，?(z)是Z的Laurent多项式，而由式（3-35）知，?(z)也是Z的Laurent多项式，因此，?(z)必是一个单项式。又因为?(z)???(?z)，故?(z) 是一个奇数次的单项式，既

?(z)??2az2l?1,a?R,l?Z

代入式（3-35），整理得

?(?z?1) （3-37）?(z)?az?(2l?1)h(?z?1)，g(z)?a?1z?(2l?1)hg

? 一种取法是a??1，l?0，于是式（3-37）变为

?(?z?1) （3-38）?(z)??z?1h(?z?1)，g(z)??z?1h g? 另一种取法是a?1，l?0，于是式（3-37）变为

?(?z?1) （3-39）?(z)?z?1h(?z?1)，g(z)?z?1h g?,h,g?,g的完全重构条件为 按式（3-38），有限长度滤波器h?(z?1)?h(?z)h?(?z?1)?2?h(z)h??(z)??z?1h(?z?1) （3-40） ?g??1??1?g(z)??zh(?z)

? 多相表示的基本思想：

? 一个多相表示的例子 对于多项式 X(z)=1?1.5z取M=2，可写成

X0(z)?1?2.2zX1(z)?1.5?4z?1?1?1?2.2z?2?4z?3?2.2z?4?1.5z?5?z?6

?2.2z?1.5z?2?2?z?3

X(z)=(1?2.2z?2?2.2z?4?z?6)?z(1.5??4z?1?2?1.5z?4)

用z2替换z，得

?X0(z)?z2?1X1(z)

2

这就是多项式的两相表示。

?? 设滤波器h(z)?k?????hkz?k，将其分裂成z的偶次幂和奇次幂二部分：

h(z)?k?????h2kz?2k??k????h2k?1z?(2k?1)??k????h2kz?2k??k????h2k?1z?2kz?1 ?k?????h2kz?2k??z?1k????h2k?1z??2k

?k?????h2k(z)2?k?z?1k?????h2k?1z(2?k)

定义，he(z)?k????h2k(z)?k和h0(z)??k?????h2k?1(z)?k

则 he(z)?从而有

2k????h2k(z)2?k，h0(z)?2k????h2k?1(z)2?k （4-4）

2) h(z)?he(z??1z0h(z ) （4-3）

2其中，he(z)包含了h(z)的所有偶系数，而ho(z)包含了h(z)的所有奇系数。更进一步，任一给定整数M，可将h(z)分解成模M不同余数次幂的M部分。即：

??? h(z)＝

k???M?1?hkMz?kM+

k????hKM?1z?KM+……+z?M?k????hKM?M?1z?KM

可简洁地写为：h(z)＝

??kzhl(z?lM)-------第一类多相表示；

l?0?式中，hl(z)＝开始。

n????hlkz是第一类多相表示h(z)的元素，对于因果序列，求和下限可从0

定义h和g的多相位矩阵为

?he(z)p(z)???ho(z)ge(z)?? （4-7） go(z)?于是，

1?h(z)p(z)??2?g(z)2Th(?z)??g(?z)??1??1z?? ?z??和g类似地，h?的多相位矩阵p?(z)为

?(z)?he?(z)??p???ho(z)2T?e(z)?g? （4-8） ?o(z)?g??(z)1?h?(z)??同理， p2?g?(z)?h?(z?)?1???g?(z?)?1z?? ?z?因此，小波重构的完全条件式（3-34）可以写成

?(z)?I2?2 （4-9） p(z)p?1T?(z?1)T表示矩阵p?(z?1)的转置矩阵，I2?2为单位阵。 其中，p?

小波分解与重构的多相位表示

解释图4-11和图3-3的等价性。设输入序列{xn}的Z变换为x(z),则流程图(图4-12)的作用相当于对{xn}进行懒小波变换 , 即抽取{xn}的偶序列和奇序列,Z变换分别为

e(z)?o(z)?1212[x(z[z1/21/2)?x(?z1/2?1/2)]

x(z)?z1/2x(?z1/2)]?(z?1)T作用后的低频和高频部分分别为a(z)和d(z)，则 设这两个Z变换经p?(z)p?1T?e(z)??a(z)?? ??=?d(z)o(z)????可以验证a(z)?此验证。

1??1/21/2?(?z?1/2)x(?z1/2)]与图3-3的结果一样。d(z)也可作[h(z)x(z)?h24.3.2 Laurent多项式的Euclidean算法

?

?、g?都是有限长的小波滤波器，所以p(z)和p?(z)的行列式detp(z)和 由于h、g、h?(z?1)T?I2?2知，detp(z)及其倒数都是Laurent?(z)都是Laurent多项式。由式p(z)pdetp多项式，故detp(z)为Z的单项式。设detp(z)=1，我们根据小波分解和重构的多相位表示，通过对多相位矩阵p(z)进行因子分解，给出小波变换的实现算法。

? 有限冲激响应滤波器FIR可以描述为一系数集h?{hk:k?z}，范围为kb?k?ke。

FIR滤波器h的Z变换是一个Laurent多项式h(z)，既

h(z)??hkzkbke?k

于是，h(z)的次数为

h(z)?ke?kb

因此，滤波器的长度等于其相应Laurent多项式的次数加1。 ?

两个Laurent多项式的带余数除法

对于任何两个Laurent多项式a(z)和b(z)，其中，b(z)?0，a(z)?b(z)，一定存在Laurent多项式的q(z)（商）和r(z)（余数），使a(z)?b(z)q(z)?r(z)成立。其中，

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