小波变换课件 第4章 小波变换的实现技术 - 图文(2)

图4-4 用Daubechice小波压缩后的重构信号

3） 比较1）和2）的压缩效果可以看出，对于同一种小波，保留更多的变换后的系数可以得到

更好的重构信号。对于相同比例的保留系数，用Daubechice小波分解信号，再重构，得到的效果好于Haar小波。这是因为Daubechice小波的连续性较好，更适合处理连续性较好的信号。

4) 用FFT对信号进行处理。令绝对值最小的80%的系数为0，则重构信号的图形如图4-5a所示。得到均方误差为0.0025，相对误差为1.59?10?5。

图4-5 用FFT压缩后的重构信号

注释：上两例是说明用小波处理信号的基本过程和在压缩中的应用，并不是想与FFT比较

谁的效果好。实际上，这里采用的信号周期性很好（正弦波的叠加），用傅立叶变换

处理更有优势。一般地，小波更适合处理突变信号，而傅立叶变换更适合处理周期信号。

4.2 多孔算法

? Mallat算法存在的问题是

数据逐级减少问题。

原因是逐级二抽样，每经过一 级小波分解，数据减少一半，因 此，随着分辨率减少，低频分量 的数据越来越少。

? 多孔算法

（非抽样小波变换或平稳小波变换）

两通道Mallat算法等价的z变换如图4－7表示。

记H?(z)?h?(z?1)，G?(z)?g?(z?1) ? 二分树算法Mallat算法的小波分解迭代过程如图4-8所示。其中，

x?j?1(z)?xj(z)H?(z)，d?j?1(z)?xj(z)G?(z) ? z变换的等效易位性质：

x(z)h(z)y(z)x(z)

?2?h(z2)y(z)?2

因为

左边 y(z)?1/22[x(1z/2?)x?(z1)]h (z)右边 y(z)?12[x(1z/2)h(z?)?x(1/z2)h (z)]

图4-9 Mallat 算法的一种等效形式

?如果不考虑每个分支的最后的抽样环节，则dj?1?(z)，dj?2?(z)，dj?2?(z)，dj?3(z)，...相

当于xj(z)中各点的小波变换全部计算出来，这叫非抽样小波变换。如图4-9所示。

h(z2)表示在滤波器{hn}的任意两点间插入2j?1个零所得到的滤波器Z变换，所以，非

?，g?个相邻点之间插入2j?1个零再与低频信号做卷积，抽样小波变换就是把滤波器h故称

j?每两个?(z4)是将g?(z2)是将h?每两个点之间插入三个零得到的新滤波器，H多孔算法。G点之间插入一个零得到的新滤波器，这样就把每一级的抽取移到了最后，保证了总数据不会

?，g?(z4)和H?(z)是使h?中补零 ，增加了逐级减少，有效地实现了Mallat算法。由于G2空隙，故称多孔算法。 设原始信号x?{x0,x1,...,x2J?1?J?x，根据下面的分解算法： }的长度为2J，记xJ?j?1?(z2?1)??j(z)?G?d(z)?x （4-1） ?j?1Jj2?1?(z?(z)?x?(z)?H)??x?k（k?J?1,J?2,...,0）的伪码程序： ?0，d计算各抽样点处的小波变换xj?JWhilej?0?j?1?x?J?j?j?1?hd?xj?1???h?xjJ?j

j?j?1endofwhile从多孔算法的分解过程（式（4-1））可知，

J?jJ?jJ?jj22?d?j?1(z)g(z2??(z)?G(z)?x)g(z)? ?J?jJ?jJ?jj?12j22?(z??(z)h(z?(z)?H)?x)h(z)?x于是，由完全重构条件（式（3-34））可得

?j(z)?x12?[xj?1(z)h(z2J?j?)?dj?1(z)g(z2J?j)] （4-2）

4.3 小波变换的提升实现

优点

（1）可以实现更快速的小波变换算法，一般比Mallat算法快2倍。 （2）可以实现完全的同址运算。

（3）能很好地克服小波变换的边界问题。

（4）提升算法小波变换的描述简单，可以避免使用傅里叶变换。

（5）在时域或空域直接实现小波构造，既工程师可以按着自己的要求来构造不同的小波，不再紧紧依赖数学家。 4.3.0小波变换的提升实现 ? 回顾 Haar小波变换

按着Haar小波滤波器组，两个数a,b的平均与细节分别为

s?a?b2

d?b?a

于是，{a,b}的小波变换为{s,d}。如果a，b高度相关，则d很小。由s,d恢复a,b的计算公式如下：

a?s?d/2 b?s?d/2

n对于长度为2的信号s?{sn,l|0?l?2}，将求平均与细节运算应用到每对数据

nn

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