高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 - 8函数与方(3)

1，x≤0，??

5．已知函数f(x)＝?1

，x>0，??xA．(1,2) B．(－∞，－2]

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D

则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )

解析 当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1； 1

当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2.

x故实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.

[x]

6．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3

x个零点，则实数a的取值范围是________________．

?34?43答案 ?，?∪[，)

?45?32

解析 当0

[x]

－a＝－a；

x[x]1

当1≤x<2时，f(x)＝－a＝－a；

xxxx[x]2

当2≤x<3时，f(x)＝－a＝－a；…

f(x)＝

[x][x][x]

－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图

xxx3443

所示，通过数形结合可知a∈(，]∪[，)．

4532

7．若函数f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________． 3

答案 {x|－

2

解析 ∵f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x＋ax＋b＝0的两根，

222

??－2＋3＝－a，

由根与系数的关系知?

?－2×3＝b.???a＝－1，??b＝－6，

2

∴?

∴f(x)＝x－x－6. ∵不等式af(－2x)>0，

即－(4x＋2x－6)>0?2x＋x－3<0， 3

解集为{x|－

2

??x，x≤a，

8．已知函数f(x)＝?2

?x，x>a.?

3

2

2

若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)

解析 令φ(x)＝x(x≤a)，h(x)＝x(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝

32

f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a>a，

3

2

解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．

??x＋9．(2016·天津)已知函数f(x)＝?

??loga2

a－x＋xx＋3a，x<0，

＋1，x≥0

(a>0，且a≠1)在R上单

调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

3____________．

?12?答案 ?，? ?33?

解析 因为函数f(x)在R上单调递减，

a－

??3－4a≥0，所以?2

??0

0＋

2

＋3a≥f，

13

解得≤a≤. 34

作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．

3

x

由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f(x)|＝2

3

xx212－同样有且仅有一个解，所以3a<2，即a<.综上可得≤a<， 3333

?12?所以a的取值范围是?，?.

?33?

*10.(2016·萧山中学期中)若a>1，设函数f(x)＝a＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax11

＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．

xmn答案 1

解析 设F(x)＝a，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，

则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m>0，n>0)． 因为F(x)与G(x)关于直线y＝x对称， 所以A，B两点关于直线y＝x对称．

又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2， 所以m＋n＝4. 又m>0，n>0，

1111m＋n所以＋＝(＋)· mnmn41nm1

＝(2＋＋)≥(2＋2 4mn4

xnm×)＝1. mn当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立． 11

所以＋的最小值为1.

nmmnmn?1?11．设函数f(x)＝?1－?(x>0)．

?

x?

(1)作出函数f(x)的图象；

11

(2)当0

ab(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解 (1)函数f(x)的图象如图所示．

1

－1，x??x1??(2)∵f(x)＝?1－?＝??x?11－??x，x，1]，，＋

，

b

故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 1111

由0

aab(3)由函数f(x)的图象可知，当0

0

22

x1

又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

x1

∴y＝x＋在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，

x∴1－m≥2，∴m≤－1， 故m的取值范围是(－∞，－1]．

*13.已知二次函数f(x)的最小值为－4，关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，

x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝

fx－4ln x的零点个数． x解 (1)∵f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax－2ax－3a且a>0. 又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)－4]≥－4， 且f(1)＝－4a，

∴f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x－2x－3.

2

2

2

x2－2x－3

(2)∵g(x)＝－4ln x

x3

＝x－－4ln x－2(x>0)，

x34

∴g′(x)＝1＋2－＝

x－

x2

x－

xx.

令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

x g′(x) g(x) (0,1) ＋ ↗ 1 0 极大值 (1,3) － ↘ 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ ↗ 当0

g(x)在(3，＋∞)上单调递增， g(3)＝－4ln 3<0，取x＝e5>3，

3555

又g(e)＝e－5－20－2>2－1－22＝9>0.

e故函数g(x)只有1个零点且零点x0∈(3，e)．

5

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