有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
??y＝－x－3x，所以?
?y＝a－x?
22
有两组不同解，
消去y得x＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)－4a>0，即a－10a＋9>0， 解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，∴09. 引申探究
本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________． 9答案 (0，)
4
解析 作出y1＝|x＋3x|，y2＝a的图象如下：
22
2
39
当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
24
92
由图象易知，当y1＝|x＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围． (2)方法：常利用数形结合法．
(1)(2016·舟山模拟)已知函数f(x)＝x＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则
2
a的取值范围为________．
(2)(2016·浙江高考冲刺)已知函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x≤2时，
f(x)＝x2－2x＋1，若在区间[－2,2]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，则实数k的
取值范围是( ) 1
A．(0，)
411C．(，)
42
1
B．(0，) 21
D．(，＋∞)
4
答案 (1)(－2,0) (2)C
解析 (1)∵－a＝x＋x在(0,1)上有解， 1212
又y＝x＋x＝(x＋)－，
24
∴函数y＝x＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a<2，∴－2
(2)因为函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且当－2≤x<0时，0<－x≤2，所以f(－
2
2
x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1.
?x－2x＋1，0≤x≤2，?
函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，即函数y＝f(x)＝?2
??x＋2x＋1，－2≤x<0
2
和y＝
k(x＋2)的图象有三个不同的交点．作出函数y＝f(x)和y＝k(x＋2)的图象，如图所示．
11
直线y＝k(x＋2)过点P(－2,0)，由图可知kPA＝，kPB＝，要使此直线与函数y＝f(x)有三
4211
个不同的交点，则需满足 42题型三 二次函数的零点问题 例4 已知f(x)＝x＋(a－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围． 解 方法一 设方程x＋(a－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1 ∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 由根与系数的关系，得(a－2)＋(a－1)＋1<0， 即a＋a－2<0，∴－2 方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0， 2 2 2 2 2 2 即1＋(a－1)＋a－2<0，∴－2 2 思维升华 解决与二次函数有关的零点问题 (1)利用一元二次方程的求根公式． (2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系． (3)利用二次函数的图象列不等式组． (2016·瑞安一模)若函数f(x)＝(m－2)x＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区 间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________． 2 ?11?答案 ?，? ?42? m≠2，?? f解析 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足?f－ ?f?fm≠2，?? 即?[m－2－m＋??[m－2＋m＋ 11解得 42 4．利用转化思想求解函数零点问题 典例 (1)若函数f(x)＝a－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． (2)若关于x的方程2＋2a＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________． 思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决． 解析 (1)函数f(x)＝a－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，即方程a－x－a＝0有两个根，即函数y＝a与函数y＝x＋a的图象有两个交点． xxx2x，， m＋m＋ m＋m－ ，＋2m＋ m＋， xx 当01时，图象如图②所示，此时有两个交点． ∴实数a的取值范围为(1，＋∞)． 2＋1x(2)由方程，解得a＝－x，设t＝2(t>0)， 2＋1 2xt2＋12 则a＝－＝－(t＋－1) t＋1t＋1 ＝2－[(t＋1)＋ 2 ]，其中t＋1>1， t＋1 2 ≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－22. t＋1 由基本不等式，得(t＋1)＋ 答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22] 1．(2016·温州模拟)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) C．(2,3) 答案 B 解析 ∵f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象是连续的， ∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)． ?2－1，x≤1，? 2．(2016·绍兴模拟)已知函数f(x)＝? ??1＋log2x，x>1， xB．(1,2) D．(3,4) 则函数f(x)的零点为( ) 1 A. 21 C．0或 2答案 D B．－2 D．0 解析 当x≤1时，由f(x)＝2－1＝0，解得x＝0； 1 当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝， 2又因为x>1，所以此时方程无解． 综上，函数f(x)的零点只有0，故选D. x3．已知三个函数f(x)＝2＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则( ) A．a 解析 方法一 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0且f(x)为R上的递增函数． 22故f(x)＝2＋x的零点a∈(－1,0)． ∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2； 11?1?∵h??＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0， 22?2?且h(x)为(0，＋∞)上的增函数， xxB．a 方法二 由f(x)＝0，得2＝－x； 由h(x)＝0，得log2x＝－x，作出函数y＝2， xxy＝log2x和y＝－x的图象(如图)． 由图象易知a<0,0 4．方程|x－2x|＝a＋1(a>0)的解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a＋1>1. 而y＝|x－2x|的图象如图， 2 22 2 ∴y＝|x－2x|的图象与y＝a＋1的图象总有两个交点． 2 2 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2 - 8函数与方(2)在线全文阅读。
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