江苏省扬州中学2015-2016学年高二上学期期末调研测试数学试卷(2)

若“p且q”是真命题，则??m?1 --------6分

??1?m?2解得?1?m?1 --------7分 （2）由q是r的必要不充分条件，则可得(t,t?1)??(?1,2) -------11分

?t??1即? （等号不同时成立） -------13分

t?1?2?解得?1?t?1 --------15分

2

18．解：（1） f?(x)＝－3x＋6x＋9,切线的斜率为9， 所以f(x)在x?2处的切线方程为

y?20?9(x?2)，即9x?y?2?0. --------6分

2

（2）令f?(x)＝－3x＋6x＋9=0,得x?3（舍）或x??1

当x?(?2,?1)时，f?(x)?0，所以f(x)在x?(?2,?1)时单调递减，当x?(?1,2)时

f?(x)?0，所以f(x)在x?(?1,2)时单调递增，又f(?2)＝2?a，f(2)＝22?a，

所以f(2)>f(?2)．因此f(2)和f(?1)分别是f(x)在区间??2,2?上的最大值和最小值，于是有 22?a?22，解得 a?0． --------12分

故f(x)??x?3x?9x，因此f(?1)??5

即函数f(x)在区间??2,2?上的最小值为?5． --------15分

321?1??a22b2?1?x2?22219.解： （1）?a?b?c，解得a?2,b?1.所以椭圆E的方程为?y2?1．--- 4分

2??c?2?2?ax12x222?y1?1，?y22?1． （2）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则220?,Q?2，0? 由题意P?1，?????????AP?BP??x1?1,y1???x2?1,y2??x1y2?x2y1?y1?y2． ??x1y2?x2y1??x1y2+x2y1?=x12y22?x22y12=?2?y12?y22??2?y22?y12?2y2?2y

221

6

??x1y2+x2y1??y1?y2?=2y22?2y12=2?y1?y2??y1+y2?

若y1=y2，则k1?k2?0，结论成立．（此处不交代扣1分）

若y1?y2则x1y2+x2y1=2?y1+y2?

?k1?k2?xy+xy?2?y1+y2?y1y?2?1221?0．--------10分 x1?2x2?2?x1?2??x2?2?备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.

（3）当直线l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C,D两点，如果存在定点Q满足条件，则有

QCPC，即QC?QD，所以Q在x轴上，可设Q点的坐标为?x0,0?. ?QDPD当直线l与y轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M,N两点，则M,N的坐标分别为

(2,0),(?2,0)．由

QMPMx?2，有0??QNPNx0?222?t，解得x0?．所以，若存在

t2?t2t不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(,0).--------12分

下面证明：对任意直线l，均有

QAPA．记直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率?QBPBx12x222?y1?1，?y22?1．由题意为k2，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则22??????2????P?t，0?,Q?，0??AP?BP??x1?t,y1???x2?t,y2??x1y2?x2y1?t?y1?y2?．

?t???x1y2?x2y1??x1y2+x2y1?=x12y22?x22y12=?2?y12?y22??2?y22?y12?2y2?2y221

??x1y2+x2y1?t?y1?y2?=2y22?2y12=2?y1?y2??y1+y2?

若y1=y2，则k1?k2?0．

若y1?y2则x1y2+x2y1=2?y1+y2? t?k1?k2?y12x1?t?y22x2?t?x1y2+x2y1?2?y1+y2?t?0． 2??2???x1???x2??t??t??易知，点B于x轴对称的点B?的坐标为(?x2,y2).?kQA?kQB??Q,A,B?三点共线．

7

?

yQAPAQAQAPA．所以对任意直线l，均有--------16分 ???1?QBQB?y2PBQBPB?x?01?x2?x?120.解：(I)f??x???x?1?，x??0,???．由f?(x)?0得? 2xx??x?x?1?0解得x?1?5． 2故f?x?的单调递减区间是??1?5??． --------4分 ，???2???121x??a，x??0,???则问题转化为?(x)在22(2)设?(x)?f(x)?g(x)?a?lnx?1(,e)上有两个不同的零点； e1?x2因为??(x)?．故当x?(0,1)时，当x??1,???时，所以?(x) ??(x)?0，??(x)?0，

x???a?0??(1)?0??123?在x?(0,1)递增.，在?1,???上单调递减.；则由题意得：??(e)?0，即?a?e?

22?1?11???()?0a??2e??22e?故0?a?

(3)当k?1时，令F(x)?f(x)?g(x)?lnx?11?2 --------10分 22e121x?，x??0,???．则有221?x2．当x?(0,1)时，F?(x)?0，当x??1,???时，F??x??0，所以F?x?在F??x??xx?(0,1)递增.，在?1,???上单调递减.?F(x)max?F(1)?0，

?对任意的x?(0,??),恒有f(x)?g(x)，故不存在x0?1满足题意． --------12分

当k?1时,对于x?1,有f(x)?g(x)?kg(x),，从而不存在x0?1满足题意--------13分 当k?1时，令G(x)?f(x)?kg(x)，x??0,???，则有

8

?x2??1?k?x?11． G??x???x?1?k?xx由G??x??0得，?x??1?k?x?1?0．

2解得x1?1?k??1?k?222?4?0，

x2?1?k??1?k?2?4?1．

当x??1,x2?时，G??x??0，故G?x?在?1,x2?内单调递增．从而当x??1,x2?时，

G(x)>G(1)=0，即f?x??k?x?1?.

综上，k的取值范围是???,1?. --------16分

9

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