（1） 若甘薯的初始温度为20℃，求a与b.
T(t)?T(0)?2t?0t（2） 若甘薯温度又满足（℃/min），求 k.
lim解：（1）放入 200 ℃ 烤炉中的甘薯的温度 T 随着时间的变化，将趋近 200 ℃，即有
?ktlimT?lim?a(1?e)?b???a?b?200 t???t???? （1）
又甘薯的初始温度为 20 ℃，即有
T(0)=a(1–e
将 b=20，代入（1）式，得 a=180. （2）
?kt?180(1?e)?20??20T(t)?T(0)1?e?kt??lim?lim?180limt?0t?0t?0ttt
1t??ln(1?u)–kt
k令1–e=u，则，且当 t→0 时，u→0，将它们代入上式，得
–k×0
)+b=b=20
1?e?kt180limt?0tu1?180lim?180klimu?0u?01ln(1?u)?ln(1?u)?ku11?180klim?180k??180k1u?0?lneln(1?u)u
T(t)?T(0)lim?2t?0t又由条件，得到 k=1/90.
图3–26 图3–27 14. 分形几何中有一种曲线，叫Koch雪花（图3–26），它可通过递归方法生成. 设有一个边长为1的正三角形；将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，如图3–27所示，每一条边生成四条新边；又将得到的多边形的每一条边三等分，都以中间三分之一段为边向外作正三角形，……，如此进行下去. 每一次等分并向外作正三角形称为一次递归.
（1）写出第一个三角形的周长，一次递归所得多边形的周长，二次递归所得多边形的周长，……，n 次递归所得多边形的周长；
（2）写出第一个三角形的面积，一次递归所得多边形的面积，二次递归所得多边形的面积，……，n 次递归所得多边形的面积；
（3）求（1）（2）中所得通项当n???时的极限，并考虑为什么会有这样的结果. 解：（1）最初三角形的周长是 P0=3.
将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，每一条边生成四条新边，
新边长为原来边长的1/3，故一次递归所得多边形的周长为
依次进行下去，得
P1?4P03.
4?4?P2?P?1??P03?3?二次递归所得多边形的周长，
……
n24Pn?Pn?1?3n 次递归所得多边形的周长
A0??4????P0 (n?1, 2, ?3?).
（2）最初三角形的面积是
1?3?1?1?sin?234.
将其每一边三等分，以中间三分之一段为边向外作正三角形，生成三个新三角形，每个
1A1?A0?3??A09的面积为原来三角形面积的1/9，故一次递归所得多边形的面积为.
依次进行下去，得
2??????1??A2?A1?3?4???A0????9????????， 二次递归所得多边形的面积
……
注意，递归中：（1）每一条边生成四条新边；（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，得到 n 次递归所得多边形的面积
n????n?1??1??An?An?1?3?4???A0????9????????1?1??A0?3?A0?3?4???A0?9?9?2???1141?4??A0?1???????????3393?9???2?1??3?4n?1???A0?9?n?11?4?????????? (n?1, 2, 3?9?????n)
（3）有（1）、（2）可得
limPn???n??1?????3?23limAn?A0?1?3??A0?1???n??45?5??1??9??
这意味着 Koch 雪花具有有界的面积，无穷大的边长.
15. 由实验知，在培养基充足等条件满足时，某种细菌繁殖的速度与当时已有的数量 A0 成正比，即 v=kA0（k?0为比例常数），为求经过时间t以后细菌的数量，试按以下过程进行计算：
（1）为求t时的细菌数量，将时间间隔 [0，t] 分成n等份，将每一等份中的细菌繁殖速度近似看作不变时，计算第一段时间末的细菌的总数量；第二段时间末的细菌的总数量；……；归纳给出最后一段时间末的细菌的总数量（注：这只是细菌数量的一个近似值）； （2）当时间间隔分得越细时，（1）中所得值越接近t时的细菌总数量，试用你所学的知识求这里的精确值──即求t时细菌总数量的精确值；
（3）若测得 5 天时的细菌总数为 936 个，10 天时的细菌总数为 2 190 个，用（2）中所得公式，求开始时的细菌个数与 60 天后细菌的总数.
解： （1）为了计算出t时的细菌数量，我们将时间间隔 [0，t] 分成 n 等份. 由于细菌的繁殖是连续变化的，在很短的一段时间内数量的变化很小，繁殖速度可近似看作不变，因此，
在第一段时间内细菌繁殖的数量为：
kA0tn，第一段时间末细菌的总数量为
2t?t???A0?1?k?A0?1?k?n?；同样，第二段时间末的细菌的总数量为?n?；……；依此类推，到?t??A0?1?k?n?. 最后一段时间末的细菌的总数量为?（2）显然，（1）计算出的结果只是细菌数量的一个近似值，因为我们假设了在每一小
n?i?1i?t, t??nn?（i=1，2，…，n）内细菌繁殖的速度不变（同时还假设了各小段时间段时间?内只繁殖一次）. 可以看出，当时间间隔分得越细（即当 n 等份时，n 越大）时这个值越
接近精确值，若对时间间隔无限细分（即当 n 等份时，n→∞），则可求得其精确值. 所以，经过时间 t 后细菌的总数是
nn????ktktt?ktkt?????limA0?1?k??limA0??1????A0?lim?1????A0ektn???n???n?n????n??n???????
nktkt将这个结果与第 3 题中连续复利的计算公式比较，发现二者是一样的. 这并不偶然，
事实上，现实世界中不少事物的生长规律都服从这个模型，所以也称 y=Aekt 为生长函数.
（3）细菌繁殖服从生长函数 y=A0ekt. 由题目所给数据，得
5k??936?A0e?10k??2 190?A0e
19361365146 016ln?ln?0.170 008?400.044A05156解此方程组，得A0=365，k=5. 即开始时
细菌个数为400. 按此速度增长下去，则 60 天后细菌个数为
y（60）= A0e60k≈1.076 78×107
16.（兔子问题）“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生产小兔一对，以后每月生产一对小兔. 而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产小兔一对，以后也每月生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？”这一生产过程可用一树状图来表示，如图3–28所示，其中●表示未成年兔，○表示成年兔.
（1）试用树状图计算出一年内各月末小兔的数量，考察邻近三个月小兔数量间联系，
给出计算小兔数量的递推关系，最后计算出一年后的小兔数量；
（2）试用数学归纳法证明，n 月后小兔的总量满足如下公式
nn???1?5??1??1?5??????Fn???????225????? ?（3）利用（2）中通项公式，求两个比值
图3–28
精确值给出近似值，并将结果与黄金分割值0.618作比较.
解：（1）从图3–28可以看出，自三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按规律可以写出数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 可见一年后共有兔子 144 对. 这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做 Fibonacci 数列，其中的每一项称为 Fibonacci 数.
若设 F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，……，则此数列应有下列递推关系：
Fn+2=Fn+1+Fn （n=1，2，3，……）
（2）用数学归纳法证明，n月后小兔总量的公式是：
nn??????1??1?5?1?5??Fn????2??2?5??????? ?
FnFlimn?1极限：n???Fn?1与n???Fn的精确值，用
lim （2）
11?????11?51?5?????1F1?????????5??2??2????当 n=1 时，
221??1?5??1?5??????1F2?????????5??2??2???? 当 n=2 时，
33?????11?51?5?1????F3??(65?105)?2?F1?F2???????225??85??????当 n=3 时，，
满足递推关系式（1）.
假设当n 那么，当n=k+1时， Fk?Fk?1kkk?1k?1????????????11?51?511?51?5????????????????????????22225??5??????????????k?1k?1????????1?5??11?51?51?5?????1????1?????????????5??2??2??2??2????k?1k?1????????3?5??11?53?51?5????????????????????5??2??2??2??2????1??1?5??????25?????k?1?1?5??1?5???2?????2??????2k?12?1?5?????2??????k?1k?1??????11?51?5????????????225?????????Fk?1 也满足递推关系式（1），有数学归纳法可知公式（2）成立. nnnn1??1?5??1?5??1?1?5???1?5???????1???Fn????????????????5??2??2??5?2???1?5?????? （3）∵ n?1n?1n?1n?1?1?5??1?1?5???1?5??1??1?5??????1???????????????????5??2?5?2???1?5???2?????? nFn?1?1?5?1????1?5?Fn2????n?1Fn?11?5?1?5?1???1?5???? ∴ ?1?5?1?5?1??1?5???0(n??)1?5?由于，从而? 故 n 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库应用数学与计算教学课件-《大学数学简明教程》习题参考解答(7)在线全文阅读。
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