应用数学与计算教学课件-《大学数学简明教程》习题参考解答

习 题 1

1．试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表1-9）．

表1-9 个人住房公积金贷款利率表 年份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 3.45 3.45 3.45 3.45 3.45 3.825 3.825 3.825 3.825 3.825 4.14 4.14 4.14 4.14 4.14 4.59 4.59 4.59 4.59 4.59 到期一次还本付息 10 414.000 414.000 434.873 295.863 226.418 184.798 159.154 139.421 124.656 113.205 104.073 10 436.943 436.943 10 651.069 651.069 10 868.043 868.043 11 087.861 1 087.861 11 459.117 1 459.117 11 711.330 1 711.330 11 967.011 1 967.011 12 226.151 2 226.151 12 488.736 2 488.736 月数 月利率/‰ 年利率/% 月还款额 本息总额 总利息

2． 某工厂有一水池，其容积为100m，原有水为10m． 现在每10min注入0.5m的水． 试将水池中水的体积表示为时间 t 的函数，且问需用多少min水池才能灌满？

解 设水的体积为 V， 则V=0.05t + 10

3

33t?100?10?1800.05(min)

33． 以速率A (单位：cm/s)往一圆锥形容器注水． 容器的半径为 R cm，高为H ． 试

将容器中水的体积 V 分别表示成时间 t 与水高度 y 的函数．

1V?At；V??R2y y?H3解

4． (手机服务的选择问题)假设目前的手机收费标准是这样的：“133 环保网”的收费

为每月基本费用 50 元，每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)再加收 0.2 元；“神州行”无每月基本费用，但按每通话 1 min(不足 1 min按 1 min计算)加收 0.6 元计算话费．若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议．

解 133 环保网话费为S1?50?0.2t；神州行话费为S2?0.6t

S1?S2?50?0.4t≤0时，即t≥125（h）时，S1≤S2，即使用“133 环保网”所需交纳的话费较少，

若每月通话时间不足 125 min则用“神州行”合适．

5． 某公司每天要支付一笔固定费用 300 元(用于房租与薪水等)，它所出售的食品的生产费用为 1 元/kg，而销售价格为 2 元/kg．试问他们每天应当销售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?

解 (2?1)x?300，x?300(kg)

6． 设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为S(x)?x?3x?70， 需求函

2数(即需求量作为价格的函数)为D(x)?410?x， 其中x为价格．

(1) (1)在同一坐标系中，画出S(x),D(x)的图形； (2) (2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格．

解 S(x)?D(x)?x?3x?70?410?x?x1??24，x2?20 由实际意义取x=20 7． 有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反．当物体以4m/s的速度运动时，阻力为 2 N，试建立阻力与速度之间的函数关系．

2解 设

N?kv，k?Nv?24?0.5Ns/m，即 N?0.5v

8． 一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每km用油也是一个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式．解释表达式中常数的意义．

解 设起飞用油为s1，着陆用油s2，空中飞行用油为s3，则s1，s2为常量，其中s3?kl，其中k为飞行每km用油量，l为航程，因此所需燃料总量S?s1?s2?s3?s1?s2?kl

9． 财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价．财产的价值将随其使用时间的加长而降低，也就是会贬值．例如最初花 100 000 元购买的小汽车，几年后只值 50 000 元．计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数．如果一个 1 950 美元的冰箱 7 年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式． 解 设财产价值为V，时间为t，则此线性函数可设为V?kt?b； t?0时，V?1 950?b；t?7 时，V?7k?b?7k?1 950?0，k??250；

所以V??250t?1 950

10．(1) 利用表1-10中的数据确定一个形如

的公式．该公式给出了时刻 t (以月计)时，兔子的数量Q．

(2) 该兔子种群的近似倍增期是多少?

(3) 利用你的方程预测该兔子种群何时达到1 000只．

表1-10 Q?Q0ert

t Q 0 25 1 43 2 75 3 130 4 226 5 391 ?25?Q0e0?Q0?25???r0.54tr?0.5443?QeQ?25e?0? 解 （1）解方程组：，所以公式为

（2）由2?e0.54t得到：t?1.28(月)

（3）由1000?25e0.54t得到：t?6.83(月)

注：求r的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值．结果略有差异．

11． 旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过 20 kg免费，超过 20 kg部分，每kg收费 0.20 元． 超过50 kg部分再加收 50 %． 试列出收费与物品重量的函数关系式．

解 设收费为P，物重为W，则当W≤20时，P?0；

20

W?50 时，P?0.2(W?20)?0.5(W?50)

12． 某停车场收费标准为：凡停车不超过2 h的，收费 2 元；以后每多停车 1 h(不到 1 h仍以 1 h计)增加收费 0.5 元．但停车时间最长不能超过 5 h．试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型．

解 设收费为P，停车时间为T，则当T≤2时，P?2；

2

13． 设仪器由于长期磨损，使用x年后的价值是由下列模型

Q(x)?Q0e?0.04x

确定的．使用 20 年后，仪器的价值为 8 986.58 元．试问当初此仪器的价值为多少?

?0.04xQ(x)?Qe0Q0 解 由，将x?2，(?20)8代入得到：

8 986.58?Q0e?0.04?20?Q0?20 000(元)

14． 生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长:

Q(t)?aekt (表示 t min后的细菌数)

假设在一定的条件下，开始(t?0)时有 2 000 个细菌，且 20 min后已增加到 6 000 个，试问 1 h后将有多少个细菌?

Q(0)?a?2 0；00Q(20?)) 解 Q(60?k2 02000?ek2 06000?e06? 002k0?；ek032 2000?(e3)?2?3 000个3 54 000() 15． 大气压力P随着离地球表面的高度h的增加而呈指数减少：

P?P0e?1.2?10其中P0是海平面处的大气压力，h以m计．

?4h

(1) 珠穆朗玛峰的顶峰海拔高 8 848.13 m，那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；

(2) 一架普通商用客机的最大飞行高度大约是 12 000 m． 此高度的大气压力是多少？

将其表示为海平面处大气压力的百分数．

?1.2?(1P)?Pe0?410?8 848.13?0.34P50 ?834.P508 #.P69 %0

?kt)解 (2P?P0e?4?1.2?10?12 000?0.23P60 ?9 16． 某工厂的空气经过过滤使得污染数量P(单位：mg/L)正按照方程P?P0e其中t表示时间（单位：h）．如果在前 5 h内消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染减少 50 % 需花多少时间？

(3) 画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果． (4) 解释污染量以这种方式减少的可能原因．

?5kP?P0e?kt，t?5 时，有(1-10 %)P0?Pe，e?5k?0.9，k?0.0210减少，

(1) P(10)?P0e?10k?P0(e?5k)2?0.81P0?81 %P解 (2) P(t)?P0e(3) 图像略。 (4) 略。

?kt0?50 %P0?(e?k)t?0.5?t?33(h)

17． 某有机体死亡 t 年后所剩的放射性碳-14含量Q由式

Q?Q0e?0.000 121 t

给出，其中Q0是初始量．

(1) 考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳-14含量的15%，估计该头盖骨的年龄． (2) 试根据此方程计算碳-14的半衰期． 解 (1) 由Q?Q0e?0.000 121 t； 15 %Q0?Q0e?0.000 121 t?t?15 678.7（年）

?t?5 728.94（年）(2) 50 %Q0?Q0e

18． 一幅佛m尔(Vermeer)(1632—1675)的绘画含有其原有碳-14(半衰期为5 739年)含

量的 99.5 %．根据这一信息，是否能判断出该画是不是赝品，请解释理由．

?0.000121t?0.000 121 tQ?Qe； 99.5%Q?Qe?t?41.4（年）000解 由上一道题目

?0.000 121 t即这幅画只有40多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品．

19． 某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线改变．

(1) 画出种群总量关于时间的图象．

(2) 求出种群量作为时间 t 的函数的表达式，其中 t 以月为单位计量．

解 (1)

(2)设群量为A，则

A?800?100sin(2??x?)122

20． 同一元素的不同类(称为同位素)可能具有很不同的半衰期．钚-240的衰减由公式

Q?Q0e?0.00011t

给出，而钚-242的衰减则由公式

Q?Q0e?0.0000018t

给出，求钚-240和钚-242的半衰期．

?0.000 11 tQ?50 %Q?Qe?t?6 301.34（年）00 解 (1) 钚-240：

?0.000 001 8 tQ?50 %Q?Qe?t?385 082（年）00 (2) 钚-242：

21． 某一储水池中水的深度在水的平均深度 7 m上下每隔 6 h完成一次正弦振荡．如果最小深度为 5.5 m，最大深度为 8.5 m，求出水的深度表达式(单位：h)(可能的答案很多)．

解 设水的深度表达式为：H?Asin(? t??)?B，由题意可知，周期T?6。从而

π3，A?1.5，B?7则水深表达式为：

πH?1.5sin( t??)?73

其中?任意。

?? 22． 在一个拥有80 000人的城市里，在时刻 t 得感冒的人数为

N(t)?其中 t 是以天为单位．试求开始感冒的人数及第 4 天感冒的人数．

10 0001?9 999e?t

解 由

N(t)?10 0001?9 999e?t，t?0 时，N(0)?10 0001?9 999e010 0001?9 999e?1（人）

N(4)? 23． 将下列函数分解成基本初等函数的复合

?4?54（人）

2?x2 (1) y?sinx； (2) y?lntg2x； (3) z?(1?e)； (4)

2y?ln(x?1?x2)．

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