应用数学与计算教学课件-《大学数学简明教程》习题参考解答(5)

2解：将②代入①得到z?4x?12?0，是一条抛物线．

?x2?4y2?9z2?36?（3）?y?1 ；

22解：将②代入①得到x?9z?32?0，为一椭圆．

27．求直线 y?2x?1 向上平移1个单位，又向左平移2个单位，最后按逆时针旋转30所得的直线方程，并画出变换后的图形，给出所用的变换表达式． 解：变换表达式①为：y?y??1，代入直线方程得：y??2x?2；

变换表达式②为：x?x??2，代入直线方程得：y??2x??6；

ππ??x?Xcos?Ysin??66??y???Xsinπ?Ycosπ66，代入方程为： ?变换表达式③为：?28. 在单位圆周上均匀撒布 360 个点，将仿射变换作用其上后，试研究有无不变的向

量或变到相反方向的向量．

需编程解决．解略．

29. 在单位圆周上随机撒布一批点，经过多次仿射变换后，试研究有无不变的向量或变到相反方向的向量． 需编程解决．解略．

30. 当一架超音速飞机在高空中飞行时，由于飞机的速度比声速快，所以人们常常先看到飞机在天空中掠过，片刻之后才能听到震耳的隆隆声．问题是，在同一时刻，天空中的什么区域内可以听到飞机的声音．

(1) 设空间有一点声源，它在 t?0 时发出的声波以音速v0向四面八方传传播，经过时间s之后所能达到的最大传播范围是一个以声源为心的球面，球面半径恰好是声波在 s 时间内所传播的距离v0s，因此，人们常把声波称为球面波，以v0s为半径的球面称为 s 时的波前．想像能听到飞机声音的区域是什么形状的．

(2) 以 t?0 时飞机的位置为坐标原点，以飞机前进的方向作为 x 轴，建立三维直角坐标系．当t?a时，飞机处在(va,0,0)点，试给出 [0，a] 时间段内任一时刻 s，飞机所发出的球面波的波前的方程．

(3) 试消去 s，求包围能听到飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程．

解：（1）应为锥形区域。

（2）容易得到，s?[0,a]时，飞机处于(vs,0,0)．由于波前为一球面，且其半径为v0(a?s)，因此，此时刻的波前方程为：

（3）由于任一时刻的波前球面与所述锥形区域相切，从而可知锥顶角的一半

2(x?vs)2?y2?z2?v0(a?s)2

(23?1)X?(2?3)Y?12?0

??arcsinv0v0??arcsin2222v．从而锥面的方程为y?z?tan?(x?va)．将v代入方程

2v02y?z?2(x?va)2v?v0 22即得：飞机声音区域(即上述球面所充斥区域)的曲面的方程为：

习 题 3

11nsin(1?)nn的极限近似值，观察所得n与数列1. 试按 n 的几种不同取法，求数列

计算结果，以检验两个公式的正确性.

解：取n=3i，（i=1，2，3，……）时，计算得 i 1 2.370 37 2 2.581 17 3 2.669 59 4 2.701 69 5 2.712 71 0.999 997 6 7 8 1(1?)nn 1nsinn i 2.716 42 2.717 66 2.718 07 1. 1. 1. 0.981 584 0.997 944 0.999 771 0.999 975 取n=5i，（i=1，2，3，……）时，计算得

1 2.488 32 0.993 347 2 2.665 84 0.999 733 3 2.707 49 0.999 989 4 2.716 11 1. 5 2.717 85 1. 6 2.718 19 1. 7 2.718 26 1. 1(1?)nn 1nsinn 取n=10i，（i=1，2，3，……）时，计算得 i 1 2.593 74 0.998 334 2 2.704 81 0.999 983 3 2.716 92 1. 4 2.718 15 1. 5 2.718 27 1. 1(1?)nn 1nsinn 11lim(1?)n?e, limnsin?1n??nn可以看出，公式：n??成立.

2. 设数列xn满足xn?1?2?xn及x0?1，写出这一数列的前 10 项，考察所给数列的变化趋势，进而猜测这一数列的极限值.

解： n xn 0 1. 1 1.732 05 2 1.931 85 3 1.982 89 4 1.995 72 5 1.998 93 6 1.999 73 7 1.999 93 8 1.999 98 9 2. 从表中可以看出：n??limxn?2.

事实上，当判定数列xn确实存在后，设n??的极限可得：

limxn?a. 对xn?1?2?xn两边取n→∞时

a?2?a 两边平方，整理后得到方程：a2–a–2=0. 解得：a=2（–1是这个无理方程的增根，舍去），与刚才的结果相同.

3. 复利，即利滚利，不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题. 随

着商品经济的发展，复利计息将日益普遍，同时，复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率.

（1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，存期为 t 年，则本利和为多少?

（2）现某同学有p?1 000元，年利率r?0.06，存期t?2年，请按（ⅰ）季度；（ⅱ）月；（ⅲ）日；（ⅳ）小时. 计算本利和；

（3）猜测以连续复利（即随时计算利息并加入本金）的方式计算时，本利和为多少？ 解：

（1）设本金为 p，年利率为 r，若一年分为 n 期，每期利率为 r/n，则本利和为：

第 1 期后

p1?p?p?rr?p(1?)nn

第 2 期后

rrp2?p1(1?)?p(1?)2nn

rpn?p(1?)nn

第 n 期，即一年后

rp(1?)ntn 这样，t 年后，本利和为

（1）

（2）某同学有 p=1 000 元，年利率r?0.06，存期t?2，那么

（ⅰ）按季度计息，即 n=4，代入（1）式，计算本利和约为 1 126.49 元；

（ⅱ）按月计息，即 n=12，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.16 元； （ⅲ）按日计息，即 n=365，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.49 元； （ⅳ）按小时计息，即 n=365×24，代入（1）式，计算本利和约为 1 127.5 元. （3） 以连续复利计息，即随时计算利息并加入本金的方式计算，此时即求 n→∞ 时

??rntrnlimp(1?)?limp?(1?)r??pertn??n??nn??（1）的极限，，从而本利和为pert.

4. 在求极限时，若相邻两次的计算结果（在符合精度要求的条件下）相同时，则认为

计算结果已达到精度要求，计算停止，并取计算结果为极限的近似值. 请用这一方法研究极限：

lim(1?123rtn???133???1n3)

2998 2.575 85 2999 2.575 86 3000 2.575 86 … … n 解：计算结果列表如下： … … 1998 2.567 64 1999 2.567 65 2000 2.567 66 … … 2997 2.575 85 表达式的值 5. 根据给定函数的图形，求解以下极限问题： limf(x)limf(x)limf(x)limf(x)（1） （i）x?2?；（ii）x?2?；（iii）x?2；（iv）f(2)；（v）x???；limf(x)limf(x)（vi）x???；（vii）x??.

题图见教材。

解：如图可得：

limf(x)（i）x?2?=2

（ii）

x?2?limf(x)=0

limf(x)limf(x)limf(x)（iii）由于x?2?≠x?2?，故x?2不存在.

（iv）f(2)=2

limf(x)（v）x???=2 limf(x)（vi）x???=0

limf(x)limf(x)limf(x)（vii）x???≠x???，故x??不存在.

（2）（i）x??2（vi）x???

limF(x)limF(x)?；（ii）x??2?limF(x)limF(x)limF(x)；（iii）x??2；（iv）F(?2)；（v）x???；

.

解：如图可得： （i）x??2?limF(x)=0 =0

=x??2?limF(x)（ii）x??2?limF(x)（iii）由于x??2?limF(x)，故x??2limF(x)=0.

（iv）F(?2)没定义 （v）x???limF(x)=+∞ =+∞

（vi）x???limF(x)limf(x)limf(x)limf(x)limf(x)（3）（i）x?3?；（ii）x?3?；（iii）x?3；（iv）f(3)；（v）x???；（vi）

x???limf(x).

题图见教材。 解：如图可得：

limf(x)（i）x?3?=–∞ limf(x)（ii）x?3?=–∞

limf(x)limf(x)limf(x)（iii）因为x?3?=x?3?=–∞，故x?3=–∞

（iv）f(3)=1 （v）

x???limf(x)=2

limf(x)（vi）x???=2

（4）（i）x?0（vi）x???

limG(x)limG(x)?；（ii）x?0?limG(x)limG(x)limG(x)；（iii）x?0；（iv）G(0)；（v）x???；

.

解：如图可得： （i）x?0?limG(x)=3 =3

=x?0limG(x)?（ii）x?0?limG(x)（iii）由于x?0（iv）G(0)=3

limG(x)?=3，故x?0limG(x)=3

limG(x)（v）x???=0

（vi）x???limG(x)不存在

；（ii）x??2?limf(x)（5）（i）x??2?limf(x)（vi）x???.

limf(x)；（iii）x??2limf(x)limf(x)f(?2)x；（iv）；（v）???；

题图见教材。

解：如图可得：

（i）x??2?limf(x)=–∞ =+∞

≠x??2?limf(x)limf(x)，则x??2不存在.

（ii）x??2?limf(x)（iii）由于x??2limf(x)?（iv）f(?2)没定义

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